Как можно решить уравнение y" - 3y + 2y = 0?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка решение уравнения уравнение y" - 3y + 2y = 0 математика 11 класс Дифференциальные уравнения методы решения уравнений Новый

Давайте разберем уравнение y" - 3y + 2y = 0. Сначала упростим его. Объединим подобные члены:

y" - (3y - 2y) = 0

y" - y = 0

Теперь у нас есть однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы решить его, мы можем воспользоваться характеристическим уравнением. Для этого мы предположим, что решение имеет вид:

y = e^(rt)

где r - это постоянная, которую нам нужно найти. Подставим это предположение в наше уравнение:

Вычислим производные:

• y' = r * e^(rt)
• y" = r^2 * e^(rt)

Теперь подставим y, y' и y" в уравнение:

r^2 * e^(rt) - e^(rt) = 0

Мы можем вынести e^(rt) за скобки:

e^(rt) * (r^2 - 1) = 0

Поскольку e^(rt) никогда не равен нулю, мы можем сосредоточиться на решении уравнения:

r^2 - 1 = 0

Решим это уравнение:

• r^2 = 1
• r = ±1

Теперь у нас есть два корня: r1 = 1 и r2 = -1. Это означает, что общее решение нашего дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(t) = C1 * e^(t) + C2 * e^(-t)

где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями, если они заданы.

Таким образом, мы нашли решение уравнения y" - y = 0.