Похожие вопросы
2024-11-28 22:03:54
Решите дифференциальное уравнение y''-3y'+2y=0 с начальными условиями y(0)=1 и y'(0)=2.
Математика 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальное уравнение решение уравнения начальные условия математика y''-3y'+2y=0 y(0)=1 y'(0)=2
2024-12-12 05:10:06
Давайте с энтузиазмом и энергией разберемся с этим дифференциальным уравнением! У нас есть уравнение второго порядка:
y'' - 3y' + 2y = 0
Это уравнение является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Начнем с нахождения характеристического уравнения:
r^2 - 3r + 2 = 0
Теперь найдем корни этого уравнения! Мы можем использовать дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1
Корни найдём по формуле:
r = (3 ± √D) / 2 = (3 ± 1) / 2
- r1 = 2
- r2 = 1
Теперь, когда мы нашли корни, можем записать общее решение нашего уравнения:
y(t) = C1 * e^(2t) + C2 * e^(t)
Теперь давайте применим начальные условия, чтобы найти константы C1 и C2!
y(0) = 1:
C1 * e^(0) + C2 * e^(0) = 1
C1 + C2 = 1 (1)
Теперь найдем производную y'(t):
y'(t) = 2C1 * e^(2t) + C2 * e^(t)
y'(0) = 2:
2C1 * e^(0) + C2 * e^(0) = 2
2C1 + C2 = 2 (2)
Теперь у нас есть система уравнений:
- C1 + C2 = 1
- 2C1 + C2 = 2
Вычтем первое уравнение из второго:
(2C1 + C2) - (C1 + C2) = 2 - 1
C1 = 1
Теперь подставим C1 в первое уравнение:
1 + C2 = 1
C2 = 0
Итак, мы нашли константы:
- C1 = 1
- C2 = 0
Теперь подставим их в общее решение:
y(t) = 1 * e^(2t) + 0 * e^(t) = e^(2t)
Вот и всё! Мы получили окончательное решение:
y(t) = e^(2t)
Как здорово решать дифференциальные уравнения! Ура!
