Решите дифференциальное уравнение y''-3y'+2y=0 с начальными условиями y(0)=1 и y'(0)=2.

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальное уравнение решение уравнения начальные условия математика y''-3y'+2y=0 y(0)=1 y'(0)=2 Новый

Давайте с энтузиазмом и энергией разберемся с этим дифференциальным уравнением! У нас есть уравнение второго порядка:

y'' - 3y' + 2y = 0

Это уравнение является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Начнем с нахождения характеристического уравнения:

r^2 - 3r + 2 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения! Мы можем использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1

Корни найдём по формуле:

r = (3 ± √D) / 2 = (3 ± 1) / 2

• r1 = 2
• r2 = 1

Теперь, когда мы нашли корни, можем записать общее решение нашего уравнения:

y(t) = C1 * e^(2t) + C2 * e^(t)

Теперь давайте применим начальные условия, чтобы найти константы C1 и C2!

y(0) = 1:

C1 * e^(0) + C2 * e^(0) = 1

C1 + C2 = 1 (1)

Теперь найдем производную y'(t):

y'(t) = 2C1 * e^(2t) + C2 * e^(t)

y'(0) = 2:

2C1 * e^(0) + C2 * e^(0) = 2

2C1 + C2 = 2 (2)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. C1 + C2 = 1
2. 2C1 + C2 = 2

Вычтем первое уравнение из второго:

(2C1 + C2) - (C1 + C2) = 2 - 1

C1 = 1

Теперь подставим C1 в первое уравнение:

1 + C2 = 1

C2 = 0

Итак, мы нашли константы:

• C1 = 1
• C2 = 0

Теперь подставим их в общее решение:

y(t) = 1 * e^(2t) + 0 * e^(t) = e^(2t)

Вот и всё! Мы получили окончательное решение:

y(t) = e^(2t)

Как здорово решать дифференциальные уравнения! Ура!