Как решить уравнение 4y'' - 8y' + 3y = 0?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка решение уравнения математические уравнения 11 класс математика Дифференциальные уравнения метод решения уравнений Новый

Ответ:

Решение уравнения 4y'' - 8y' + 3y = 0 можно выполнить, используя метод характеристического уравнения.

Пошаговое объяснение:

Шаг 1: Запишем характеристическое уравнение.

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, мы можем заменить производные на переменную k. В нашем случае:

• y'' заменяется на k²,
• y' заменяется на k,
• y остается y.

Таким образом, характеристическое уравнение будет выглядеть так:

4k² - 8k + 3 = 0.

Шаг 2: Найдем дискриминант.

Чтобы решить квадратное уравнение, найдем дискриминант D:

• D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 4 * 3.
• D = 64 - 48 = 16.

Шаг 3: Найдем корни уравнения.

Так как дискриминант положителен, у нас два различных действительных корня:

• k₁ = (8 + √D) / (2 * 4) = (8 + 4) / 8 = 12 / 8 = 3 / 2,
• k₂ = (8 - √D) / (2 * 4) = (8 - 4) / 8 = 4 / 8 = 1 / 2.

Шаг 4: Запишем общее решение.

Общее решение уравнения будет иметь вид:

y = e^(k₁x)C₁ + e^(k₂x)C₂,

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

Подставляя найденные корни, мы получаем:

y = e^(3/2 x)C₁ + e^(1/2 x)C₂.

Итак, окончательный ответ:

y = e^(3/2 x)C₁ + e^(1/2 x)C₂.