При каком значении параметра a дифференциальное уравнение у'' - ау' + 3у = 0 имеет решение вида у = е^3x?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальное уравнение решение уравнения значение параметра a математика 11 класс уравнение второго порядка Новый

Чтобы определить значение параметра a, при котором уравнение у'' - ау' + 3у = 0 имеет решение вида у = е^3x, мы начнем с подстановки этого решения в уравнение.

1. Сначала найдем производные функции у = е^3x:

• Первая производная: у' = 3е^3x
• Вторая производная: у'' = 9е^3x

2. Теперь подставим у, у' и у'' в дифференциальное уравнение:

у'' - ау' + 3у = 0

Подставляем:

9е^3x - a(3е^3x) + 3(е^3x) = 0

3. Упростим уравнение:

(9 - 3a + 3)е^3x = 0

Это уравнение верно для любого x, если коэффициент при е^3x равен нулю:

9 - 3a + 3 = 0

4. Решим это уравнение для a:

12 - 3a = 0

3a = 12

a = 4

Таким образом, значение параметра a, при котором дифференциальное уравнение имеет решение вида у = е^3x, равно 4.