Как можно разложить на множители x^6 + 1?

Математика 11 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители x^6 + 1 математические задачи алгебра 11 класс учебник по математике Новый

Чтобы разложить на множители выражение x^6 + 1, мы можем воспользоваться формулой суммы кубов и некоторыми алгебраическими преобразованиями. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Запишем исходное выражение:

   x^6 + 1

2. Обратим внимание, что x^6 + 1 можно представить как:

   (x^2)^3 + 1^3

   Это выражение является суммой кубов.

3. Применим формулу суммы кубов:

   Формула выглядит так: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). В нашем случае a = x^2 и b = 1.

   Таким образом, мы можем записать:

   x^6 + 1 = (x^2 + 1)((x^2)^2 - (x^2)(1) + 1^2) = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1).

4. Итак, мы разложили x^6 + 1 на множители:

   x^6 + 1 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1).

5. Проверим, можно ли разложить дальше:

   1. Выражение x^2 + 1 не может быть разложено на множители над полем действительных чисел, так как оно не имеет действительных корней.

   2. Выражение x^4 - x^2 + 1 также не имеет действительных корней, так как его дискриминант равен (-1)^2 - 4*1*1 = -3, что меньше нуля.

Таким образом, окончательный ответ на вопрос о разложении x^6 + 1 на множители:

x^6 + 1 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1).