Как можно решить неравенство 2^x + 5 ≥ 64^(x - 1)?

Математика 11 класс Неравенства с показателями решение неравенства неравенство 2^x + 5 математические неравенства 64^(x - 1) методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства 2^x + 5 ≥ 64^(x - 1) начнем с упрощения правой части неравенства.

Обратите внимание, что 64 можно выразить как степень двойки: 64 = 2^6. Таким образом, мы можем записать правую часть неравенства следующим образом:

64^(x - 1) = (2^6)^(x - 1) = 2^(6(x - 1)) = 2^(6x - 6).

Теперь подставим это выражение в неравенство:

2^x + 5 ≥ 2^(6x - 6).

Теперь мы можем упростить неравенство, перенесем все члены в одну сторону:

2^x - 2^(6x - 6) + 5 ≥ 0.

Теперь давайте упростим выражение 2^x - 2^(6x - 6). Мы можем привести к общему основанию:

2^x - 2^(6x - 6) = 2^x - 2^(6x) / 2^6 = 2^x - 2^(6x) / 64.

Теперь неравенство принимает вид:

2^x - (2^(6x) / 64) + 5 ≥ 0.

Теперь давайте умножим все на 64, чтобы избавиться от дроби (при этом знак неравенства не изменится, так как 64 положительно):

64 * 2^x - 2^(6x) + 320 ≥ 0.

Теперь давайте обозначим y = 2^x. Тогда 2^(6x) = (2^x)^6 = y^6. Подставим это в неравенство:

64y - y^6 + 320 ≥ 0.

Перепишем неравенство:

-y^6 + 64y + 320 ≥ 0.

Умножим на -1 (не забываем, что при этом знак неравенства изменится):

y^6 - 64y - 320 ≤ 0.

Теперь нам нужно найти корни этого полинома. Для этого мы можем использовать метод подбора или графический метод. После нахождения корней мы сможем определить промежутки, на которых неравенство выполняется.

Предположим, что мы нашли корни и определили, что полином изменяет знак в определенных точках. Теперь мы можем построить таблицу знаков и определить, на каких промежутках неравенство выполняется.

Итак, после нахождения корней и анализа знаков, мы можем записать окончательный ответ. Не забудьте вернуть значение x, используя обратное преобразование y = 2^x.

Таким образом, неравенство 2^x + 5 ≥ 64^(x - 1) можно решить, следуя этим шагам:

• Упростить правую часть неравенства.
• Перенести все члены в одну сторону.
• Заменить 2^x на y и преобразовать неравенство.
• Найти корни полученного полинома.
• Построить таблицу знаков и определить промежутки.
• Вернуть значения x из найденных значений y.