Как решить неравенство: 2^(x^2) + 9 * 2^(1 - x^2) >= 19?

Математика 11 класс Неравенства с показателями неравенство решение неравенства математика 11 класс 2^(x^2) 2^(1 - x^2) алгебра неравенства с показателями

Чтобы решить неравенство 2^(x^2) + 9 * 2^(1 - x^2) >= 19, начнем с упрощения выражения.

Шаг 1: Подстановка

Для удобства сделаем замену. Обозначим:

• y = 2^(x^2)

Тогда 2^(1 - x^2) можно выразить через y:

• 2^(1 - x^2) = 2 * 2^(-x^2) = 2 / y

Теперь подставим это в неравенство:

• y + 9 * (2 / y) >= 19

Шаг 2: Умножение на y

Умножим обе стороны неравенства на y. При этом нужно учитывать, что y всегда положительно, так как y = 2^(x^2) и 2^(x^2) > 0:

• y^2 + 18 >= 19y

Шаг 3: Приведение к стандартному виду

Переносим все в одну сторону:

• y^2 - 19y + 18 >= 0

Шаг 4: Решение квадратного неравенства

Теперь решим квадратное уравнение y^2 - 19y + 18 = 0. Для этого найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 * 1 * 18 = 361 - 72 = 289

Теперь находим корни уравнения:

• y1 = (19 + √289) / 2 = (19 + 17) / 2 = 36 / 2 = 18
• y2 = (19 - √289) / 2 = (19 - 17) / 2 = 2 / 2 = 1

Шаг 5: Определение промежутков

Теперь у нас есть корни y1 = 18 и y2 = 1. Мы можем определить знаки выражения y^2 - 19y + 18 на промежутках:

• y < 1: знак положительный
• 1 < y < 18: знак отрицательный
• y > 18: знак положительный

Таким образом, неравенство выполняется для:

• y ≤ 1 или y ≥ 18

Шаг 6: Обратная подстановка

Теперь вернемся к переменной x. Напомним, что y = 2^(x^2):

• 2^(x^2) ≤ 1: x^2 ≤ 0, что дает x = 0
• 2^(x^2) ≥ 18: x^2 ≥ log2(18)

Решим последнее неравенство:

• x ≤ -√(log2(18)) или x ≥ √(log2(18))

Шаг 7: Итоговый ответ

Таким образом, решением неравенства 2^(x^2) + 9 * 2^(1 - x^2) >= 19 являются:

• x = 0
• x ≤ -√(log2(18)) или x ≥ √(log2(18))

Это и будет окончательный ответ на неравенство.

Чтобы решить неравенство 2^(x^2) + 9 * 2^(1 - x^2) >= 19, начнем с упрощения выражения.

Первым шагом заменим 2^(x^2) на y, тогда 2^(1 - x^2) = 2 * 2^(-x^2) = 2/y. Подставим это в неравенство:

y + 9 * (2/y) >= 19

Теперь умножим обе части неравенства на y (при условии, что y > 0, так как 2^(x^2) > 0):

y^2 + 18 >= 19y

Перепишем это неравенство:

y^2 - 19y + 18 >= 0

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

y^2 - 19y + 18 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -19, c = 18.

Сначала найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 * 1 * 18 = 361 - 72 = 289

Теперь найдем корни:

y1 = (19 + √289) / 2 = (19 + 17) / 2 = 18

y2 = (19 - √289) / 2 = (19 - 17) / 2 = 1

Теперь мы имеем корни y1 = 18 и y2 = 1. Далее мы можем исследовать знаки функции y^2 - 19y + 18 на промежутках, определяемых этими корнями:

• Для y < 1: функция положительна (выше оси).
• Для 1 < y < 18: функция отрицательна (ниже оси).
• Для y > 18: функция положительна (выше оси).

Таким образом, неравенство y^2 - 19y + 18 >= 0 выполняется для:

y <= 1 или y >= 18

Теперь вернемся к нашей замене y = 2^(x^2). Мы знаем, что 2^(x^2) > 0, поэтому рассматриваем только y >= 18

2^(x^2) >= 18

Теперь возьмем логарифм по основанию 2:

x^2 >= log2(18)

Теперь найдем значение log2(18). Мы знаем, что 18 = 2 * 9 = 2 * 3^2, и можем использовать свойства логарифмов:

log2(18) = log2(2) + log2(9) = 1 + 2 * log2(3)

Приблизительно log2(3) ≈ 1.585, тогда log2(9) ≈ 3.17, и log2(18) ≈ 4.17.

Таким образом, x^2 >= 4.17, что дает:

x >= √4.17 или x <= -√4.17.

Итак, окончательный ответ:

x >= √4.17 или x <= -√4.17.

1 2 3 4 5