Помогите решить неравенство:

4^(x+1) - 13*6^x + 9^x + 1 <= 0

Математика 11 класс Неравенства с показателями неравенство решение неравенства математика 11 класс 4^(x+1) 13*6^x 9^x математические задачи алгебра анализ неравенств Новый

Давайте решим неравенство: 4^(x+1) - 13*6^x + 9^x + 1 <= 0.

Сначала упростим выражение. Мы можем выразить 4, 6 и 9 через степени 2 и 3:

• 4 = 2^2, поэтому 4^(x+1) = (2^2)^(x+1) = 2^(2x + 2).
• 6 = 2 * 3, поэтому 6^x = (2 * 3)^x = 2^x * 3^x.
• 9 = 3^2, поэтому 9^x = (3^2)^x = 3^(2x).

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

2^(2x + 2) - 13 * (2^x * 3^x) + 3^(2x) + 1 <= 0.

Обозначим:

• y = 2^x,
• z = 3^x.

Тогда неравенство можно переписать в следующем виде:

y^2 * 4 - 13 * y * z + z^2 + 1 <= 0.

Теперь давайте рассмотрим выражение:

4y^2 - 13yz + z^2 + 1 <= 0.

Это квадратное неравенство относительно y. Чтобы решить его, найдем дискриминант:

D = (-13z)^2 - 4 * 4 * (z^2 + 1) = 169z^2 - 16(z^2 + 1) = 169z^2 - 16z^2 - 16 = 153z^2 - 16.

Теперь мы можем найти корни квадратного уравнения:

y = (13z ± √D) / (2 * 4) = (13z ± √(153z^2 - 16)) / 8.

Теперь, чтобы неравенство выполнялось, необходимо, чтобы квадратный трёхчлен имел не более одного положительного корня. Это происходит, когда D <= 0:

153z^2 - 16 <= 0.

Решим это неравенство:

153z^2 <= 16,

z^2 <= 16/153,

z <= √(16/153) = 4/√153.

Теперь, поскольку z = 3^x, мы имеем:

3^x <= 4/√153.

Теперь найдем значение x:

x <= log_3(4/√153).

Таким образом, мы нашли решение неравенства. В заключение, ответ:

x <= log_3(4/√153).