Как можно решить неравенство x^2 + y^2 + 8 >= 4(x + y)?

Математика 11 класс Неравенства решение неравенства математика 11 класс неравенство x^2 + y^2 метод решения неравенств график неравенства Новый

Для решения неравенства x^2 + y^2 + 8 >= 4(x + y) начнем с упрощения его. Мы можем перенести все слагаемые в одну сторону неравенства:

1. Перепишем неравенство:
x^2 + y^2 + 8 - 4x - 4y >= 0

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

1. Соберем все члены вместе:
x^2 - 4x + y^2 - 4y + 8 >= 0

Теперь мы можем упростить это выражение, выделив полный квадрат для x и y. Начнем с x:

1. Для x^2 - 4x мы можем выделить полный квадрат:
x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4

Теперь сделаем то же самое для y:

1. Для y^2 - 4y выделим полный квадрат:
y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4

Теперь подставим эти выражения обратно в неравенство:

1. Получаем:
(x - 2)^2 - 4 + (y - 2)^2 - 4 + 8 >= 0

Упростим это выражение:

1. Сложим константы:
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 >= 0

Теперь мы видим, что сумма квадратов всегда неотрицательна, и будет равна нулю только в случае, если оба квадрата равны нулю. Это происходит, когда:

1. (x - 2)^2 = 0, что означает x = 2
2. (y - 2)^2 = 0, что означает y = 2

Таким образом, неравенство выполняется для всех значений x и y, кроме точки (2, 2), где оно становится равным нулю. Следовательно, решение неравенства:

Все точки (x, y) на плоскости, кроме точки (2, 2).