Как можно решить уравнение 2 sin^2 x + 3 cos x - 3 = 0 и определить корни, которые находятся на отрезке [4π; 5π]? Пожалуйста, предоставьте ход решения.

Математика 11 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения корни уравнения тригонометрические функции отрезок [4π; 5π] sin^2 x cos x математический анализ уравнения с синусом уравнения с косинусом методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения 2 sin^2 x + 3 cos x - 3 = 0 начнем с преобразования тригонометрических функций. Мы знаем, что sin^2 x = 1 - cos^2 x. Подставим это выражение в уравнение:

• 2(1 - cos^2 x) + 3 cos x - 3 = 0
• 2 - 2 cos^2 x + 3 cos x - 3 = 0
• -2 cos^2 x + 3 cos x - 1 = 0

Теперь умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

• 2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos x. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Теперь найдем корни:

• cos x = (3 ± √D) / (2a) = (3 ± √1) / (4).
• cos x = (3 ± 1) / 4.

Таким образом, у нас два корня:

• cos x = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1,
• cos x = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

Теперь найдем значения x для каждого из корней:

• Для cos x = 1: x = 2nπ, где n - целое число.
• Для cos x = 1/2: x = 2nπ ± π/3, где n - целое число.

Теперь определим корни на отрезке [4π; 5π].

Начнем с первого корня:

• 2nπ = 4π => n = 2, x = 4π.
• 2nπ = 5π => n = 2.5, x не является целым числом, пропускаем.

Теперь рассмотрим второй корень:

• 2nπ + π/3 = 4π: 2nπ = 4π - π/3 = (12π - π) / 3 = 11π / 3, n = 11 / 6 (не целое).
• 2nπ + π/3 = 5π: 2nπ = 5π - π/3 = (15π - π) / 3 = 14π / 3, n = 14 / 6 (не целое).
• 2nπ - π/3 = 4π: 2nπ = 4π + π/3 = (12π + π) / 3 = 13π / 3, n = 13 / 6 (не целое).
• 2nπ - π/3 = 5π: 2nπ = 5π + π/3 = (15π + π) / 3 = 16π / 3, n = 16 / 6 (не целое).

Таким образом, единственным корнем на отрезке [4π; 5π] является x = 4π.

Ответ: x = 4π.