Как можно решить уравнение 2sin^2(2x) = (cos(x) + sin(x))^2?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения тригонометрические функции математика 11 класс уравнение с синусом и косинусом алгебраические методы решения Новый

Для решения уравнения 2sin^2(2x) = (cos(x) + sin(x))^2 мы начнем с упрощения обеих сторон уравнения.

1. Рассмотрим левую часть уравнения:

• Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
• Тогда sin^2(2x) = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x).
• Подставим это в уравнение: 2sin^2(2x) = 2 * 4sin^2(x)cos^2(x) = 8sin^2(x)cos^2(x).

2. Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

• Раскроем скобки: (cos(x) + sin(x))^2 = cos^2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin^2(x).
• Используем основное тригонометрическое тождество: cos^2(x) + sin^2(x) = 1.
• Таким образом, правая часть упрощается до: 1 + 2cos(x)sin(x).

Теперь у нас есть упрощенное уравнение:

8sin^2(x)cos^2(x) = 1 + 2cos(x)sin(x)

3. Переносим все в одну сторону:

8sin^2(x)cos^2(x) - 2cos(x)sin(x) - 1 = 0

4. Для удобства введем замену:

y = sin(x)cos(x)

Тогда sin^2(x)cos^2(x) = y^2, и уравнение можно записать как:

8y^2 - 2y - 1 = 0

5. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 8, b = -2, c = -1.

6. Подставляем значения:

• Дискриминант: D = (-2)^2 - 4 * 8 * (-1) = 4 + 32 = 36.
• Корни: y = (2 ± √36) / (2 * 8) = (2 ± 6) / 16.

7. Находим два корня:

• y1 = (2 + 6) / 16 = 8 / 16 = 1/2
• y2 = (2 - 6) / 16 = -4 / 16 = -1/4

8. Теперь возвращаемся к переменной y = sin(x)cos(x):

• Для y1 = 1/2: sin(x)cos(x) = 1/2. Это можно записать как sin(2x) = 1, что дает 2x = π/2 + 2kπ или 2x = 5π/2 + 2kπ, где k - целое число.
• Для y2 = -1/4: sin(x)cos(x) = -1/4. Это уравнение можно решить аналогично, но оно может быть более сложным.

9. Решаем для x: из первого уравнения получаем x = π/4 + kπ и x = 5π/4 + kπ. Второе уравнение решается отдельно.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения. Не забудьте проверить возможные значения x в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они подходят.