Решите уравнение, упростив левую часть:

1. cos^2x - sin^2x = корень 3/2
2. 2 sin 2x * cos 2x = 1
3. sin 3x * cos (x + pi/4) + cos 3x * sin (x + pi/4) = 0

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций уравнение математика Тригонометрия cos sin решение уравнения упрощение корень 2 sin 2x cos 2x sin 3x cos 3x математические задачи Новый

Давайте решим каждое из данных уравнений по порядку, упрощая левую часть, где это возможно.

1. Уравнение: cos^2x - sin^2x = корень 3/2

Мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

• cos^2x - sin^2x = cos(2x).

Таким образом, уравнение можно переписать как:

cos(2x) = корень 3/2.

Теперь найдем аргумент, для которого косинус равен корню из 3/2. Это происходит в следующих случаях:

• 2x = π/6 + 2kπ, где k - любое целое число;
• 2x = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Теперь делим обе части на 2:

• x = π/12 + kπ;
• x = 11π/12 + kπ.

2. Уравнение: 2 sin 2x * cos 2x = 1

Мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

• 2 sin A cos A = sin(2A).

Это позволяет переписать уравнение как:

sin(4x) = 1.

Синус равен 1, когда:

• 4x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

Теперь делим обе части на 4:

• x = π/8 + kπ/2.

3. Уравнение: sin 3x cos (x + π/4) + cos 3x sin (x + π/4) = 0

Мы можем использовать формулу синуса суммы:

• sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.

Таким образом, уравнение можно переписать как:

sin(3x + (x + π/4)) = 0.

Это упрощается до:

sin(4x + π/4) = 0.

Синус равен 0, когда:

• 4x + π/4 = kπ, где k - любое целое число.

Теперь решаем для x:

• 4x = kπ - π/4;
• x = (kπ - π/4)/4 = kπ/4 - π/16.

Теперь у нас есть решения для всех трех уравнений:

• 1. x = π/12 + kπ и x = 11π/12 + kπ;
• 2. x = π/8 + kπ/2;
• 3. x = kπ/4 - π/16.