Похожие вопросы
2024-12-16 13:15:58
Решите уравнение, упростив левую часть:
- cos^2x - sin^2x = корень 3/2
- 2 sin 2x * cos 2x = 1
- sin 3x * cos (x + pi/4) + cos 3x * sin (x + pi/4) = 0
Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций уравнение математика Тригонометрия cos sin решение уравнения упрощение корень 2 sin 2x cos 2x sin 3x cos 3x математические задачи
2024-12-16 13:16:14
Давайте решим каждое из данных уравнений по порядку, упрощая левую часть, где это возможно.
1. Уравнение: cos^2x - sin^2x = корень 3/2Мы можем использовать тригонометрическую идентичность:
- cos^2x - sin^2x = cos(2x).
Таким образом, уравнение можно переписать как:
cos(2x) = корень 3/2.
Теперь найдем аргумент, для которого косинус равен корню из 3/2. Это происходит в следующих случаях:
- 2x = π/6 + 2kπ, где k - любое целое число;
- 2x = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.
Теперь делим обе части на 2:
- x = π/12 + kπ;
- x = 11π/12 + kπ.
Мы можем использовать тригонометрическую идентичность:
- 2 sin A cos A = sin(2A).
Это позволяет переписать уравнение как:
sin(4x) = 1.
Синус равен 1, когда:
- 4x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.
Теперь делим обе части на 4:
- x = π/8 + kπ/2.
Мы можем использовать формулу синуса суммы:
- sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.
Таким образом, уравнение можно переписать как:
sin(3x + (x + π/4)) = 0.
Это упрощается до:
sin(4x + π/4) = 0.
Синус равен 0, когда:
- 4x + π/4 = kπ, где k - любое целое число.
Теперь решаем для x:
- 4x = kπ - π/4;
- x = (kπ - π/4)/4 = kπ/4 - π/16.
Теперь у нас есть решения для всех трех уравнений:
- 1. x = π/12 + kπ и x = 11π/12 + kπ;
- 2. x = π/8 + kπ/2;
- 3. x = kπ/4 - π/16.
