Похожие вопросы
2024-12-02 18:47:16
Решите уравнение (2sin²x-sinx)/(2cosx-√3)=0. Найдите все корни этого уравнения, которые принадлежат отрезку [3π/2; 3π].
Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций уравнение математика корни Тригонометрия sin cos отрезок решение уравнения 3π/2 3π
2024-12-02 18:47:30
Для решения уравнения (2sin²x - sinx) / (2cosx - √3) = 0, начнем с того, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, нам нужно решить уравнение:
1. Решим числитель:2sin²x - sinx = 0
Это уравнение можно факторизовать:
- sinx(2sinx - 1) = 0
Теперь у нас есть два случая:
- sinx = 0
- 2sinx - 1 = 0
Синус равен нулю на значениях:
- x = nπ, где n - целое число.
Решим это уравнение:
- 2sinx = 1
- sinx = 1/2
Синус равен 1/2 на значениях:
- x = π/6 + 2nπ
- x = 5π/6 + 2nπ
Объединив оба случая, мы имеем:
- x = nπ
- x = π/6 + 2nπ
- x = 5π/6 + 2nπ
Знаменатель 2cosx - √3 не должен равняться нулю:
- 2cosx - √3 = 0
- 2cosx = √3
- cosx = √3/2
Косинус равен √3/2 на значениях:
- x = π/6 + 2nπ
- x = 11π/6 + 2nπ
Эти значения нужно исключить из корней, так как они делают знаменатель равным нулю.
5. Теперь найдем корни на отрезке [3π/2; 3π]:Рассмотрим значения:
- n = 0: x = 0, π, π/6, 5π/6
- n = 1: x = π, 7π/6, 11π/6, 13π/6
Корни, которые попадают в отрезок [3π/2; 3π]:
- x = 3π/2
- x = 11π/6
Таким образом, корни уравнения на заданном отрезке:
- x = 3π/2
- x = 11π/6
Ответ: x = 3π/2 и x = 11π/6.
