Как можно решить уравнение cos⁴ x - sin⁴ x = 0 на интервале от 0° до 90°?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения cos⁴ x sin⁴ x интервал 0° 90° математика 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение cos⁴ x - sin⁴ x = 0 на интервале от 0° до 90°, начнем с преобразования левой части уравнения.

Мы можем воспользоваться формулой разности квадратов, которая гласит, что a² - b² = (a - b)(a + b). В нашем случае a = cos² x и b = sin² x. Применим эту формулу:

• cos⁴ x - sin⁴ x = (cos² x - sin² x)(cos² x + sin² x)

Теперь мы знаем, что cos² x + sin² x всегда равно 1 для любого угла x. Таким образом, уравнение упрощается до:

• (cos² x - sin² x)(1) = 0

Теперь у нас есть два множителя, и уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим первый множитель:

• cos² x - sin² x = 0

Это уравнение можно переписать как:

• cos² x = sin² x

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

• cos x = sin x

Это равенство выполняется, когда угол x равен 45°. Чтобы убедиться, что это единственное решение на нашем интервале, рассмотрим следующий шаг.

Теперь проверим, действительно ли cos x = sin x на интервале от 0° до 90°:

• cos x и sin x равны только при x = 45°.

Таким образом, единственное решение уравнения cos⁴ x - sin⁴ x = 0 на интервале от 0° до 90°:

• x = 45°.

Итак, окончательный ответ:

x = 45°