Как можно решить уравнение 6 cos²x + 7 cosx - 3 = 0 и определить его корни?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций уравнение cos2x решение уравнения корни уравнения тригонометрические уравнения математический анализ Новый

Для решения уравнения 6 cos²x + 7 cosx - 3 = 0, мы можем использовать метод подстановки. Давайте обозначим cosx как y. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

6y² + 7y - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Чтобы решить его, мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 6
• b = 7
• c = -3

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

y = (-7 ± √(7² - 4 * 6 * (-3))) / (2 * 6)

Сначала вычислим дискриминант:

• 7² = 49
• 4 * 6 * (-3) = -72
• Дискриминант = 49 + 72 = 121

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

y = (-7 ± √121) / 12

Так как √121 = 11, мы получаем два корня:

y₁ = (-7 + 11) / 12 = 4 / 12 = 1/3

y₂ = (-7 - 11) / 12 = -18 / 12 = -3/2

Теперь у нас есть два значения для y: y₁ = 1/3 и y₂ = -3/2. Поскольку y = cosx, мы должны рассмотреть каждое значение отдельно.

1. Для y₁ = 1/3:

Мы ищем cosx = 1/3. Чтобы найти x, используем арккосинус:

x₁ = arccos(1/3)

Это значение x будет находиться в первой и четвертой четвертях:

• x₁ = arccos(1/3) + 2πk, где k - любое целое число (для первой четверти)
• x₂ = -arccos(1/3) + 2πk, где k - любое целое число (для четвертой четверти)

2. Для y₂ = -3/2:

Поскольку значение косинуса не может быть меньше -1, это значение не имеет решений.

Таким образом, окончательные корни уравнения 6 cos²x + 7 cosx - 3 = 0:

• x₁ = arccos(1/3) + 2πk
• x₂ = -arccos(1/3) + 2πk

где k - любое целое число.