Чтобы вычислить синус, косинус и тангенс острых углов A и C в прямоугольном треугольнике, нам нужно знать длины всех его сторон. В прямоугольном треугольнике, согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Давайте рассмотрим каждый из случаев по порядку.

Для любого прямоугольного треугольника ABC с прямым углом в точке B:

• Гипотенуза (сторона напротив прямого угла) - это сторона AC.
• Катеты - это стороны AB и BC.

Синус, косинус и тангенс угла A можно вычислить по следующим формулам:

• Синус угла A: sin(A) = противолежащий катет / гипотенуза = BC / AC
• Косинус угла A: cos(A) = прилежащий катет / гипотенуза = AB / AC
• Тангенс угла A: tan(A) = противолежащий катет / прилежащий катет = BC / AB

Аналогично, для угла C:

• Синус угла C: sin(C) = AB / AC
• Косинус угла C: cos(C) = BC / AC
• Тангенс угла C: tan(C) = AB / BC

Теперь давайте решим каждый из предложенных случаев:

1. а) AC = 25 см, AB = 7 см
   Для нахождения BC используем теорему Пифагора: BC = √(AC² - AB²) = √(25² - 7²) = √(625 - 49) = √576 = 24 см.
   sin(A) = 24/25, cos(A) = 7/25, tan(A) = 24/7.
   sin(C) = 7/25, cos(C) = 24/25, tan(C) = 7/24.
2. б) AC = 13 мм, CB = 12 мм
   Для нахождения AB используем теорему Пифагора: AB = √(AC² - CB²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 мм.
   sin(A) = 12/13, cos(A) = 5/13, tan(A) = 12/5.
   sin(C) = 5/13, cos(C) = 12/13, tan(C) = 5/12.
3. в) AB = 8 м, CB = 15 м
   Для нахождения AC используем теорему Пифагора: AC = √(AB² + CB²) = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 м.
   sin(A) = 15/17, cos(A) = 8/17, tan(A) = 15/8.
   sin(C) = 8/17, cos(C) = 15/17, tan(C) = 8/15.
4. г) AC = 3 дм, CB = √6 дм
   Для нахождения AB используем теорему Пифагора: AB = √(AC² - CB²) = √(3² - (√6)²) = √(9 - 6) = √3 дм.
   sin(A) = √6/3, cos(A) = √3/3, tan(A) = √6/√3 = √2.
   sin(C) = √3/3, cos(C) = √6/3, tan(C) = √3/√6 = √(1/2) = 1/√2.
5. д) BC = 5 см, AB = 10 см
   Для нахождения AC используем теорему Пифагора: AC = √(AB² + BC²) = √(10² + 5²) = √(100 + 25) = √125 = 5√5 см.
   sin(A) = 5/5√5 = 1/√5, cos(A) = 10/5√5 = 2/√5, tan(A) = 5/10 = 1/2.
   sin(C) = 10/5√5 = 2/√5, cos(C) = 5/5√5 = 1/√5, tan(C) = 10/5 = 2.
6. е) AB = 2√3 м, AC = 4 м
   Для нахождения BC используем теорему Пифагора: BC = √(AC² - AB²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 м.
   sin(A) = 2/4 = 1/2, cos(A) = 2√3/4 = √3/2, tan(A) = 2/(2√3) = 1/√3.
   sin(C) = 2√3/4 = √3/2, cos(C) = 2/4 = 1/2, tan(C) = 2/2 = 1.

Таким образом, мы вычислили синусы, косинусы и тангенсы острых углов A и C для всех предложенных случаев.