Как можно упростить выражение (cos 6a - cos 4a) / (cos 6a + cos 4a)?

Математика 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения математика 11 класс Тригонометрия cos 6a cos 4a Новый

Чтобы упростить выражение (cos 6a - cos 4a) / (cos 6a + cos 4a), мы можем воспользоваться формулами для разности и суммы косинусов. Напомним, что:

• cos A - cos B = -2 sin((A + B)/2) sin((A - B)/2)
• cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A - B)/2)

В нашем случае A = 6a и B = 4a. Теперь применим эти формулы к нашему выражению:

1. Сначала найдем cos 6a - cos 4a:
• cos 6a - cos 4a = -2 sin((6a + 4a)/2) sin((6a - 4a)/2)
• Это упрощается до: -2 sin(5a) sin(a)
2. Теперь найдем cos 6a + cos 4a:
• cos 6a + cos 4a = 2 cos((6a + 4a)/2) cos((6a - 4a)/2)
• Это упрощается до: 2 cos(5a) cos(a)

Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

(cos 6a - cos 4a) / (cos 6a + cos 4a) = (-2 sin(5a) sin(a)) / (2 cos(5a) cos(a))

Мы можем сократить 2 в числителе и знаменателе:

=( - sin(5a) sin(a) ) / ( cos(5a) cos(a) )

Теперь мы можем записать это выражение как:

=- (sin(5a) / cos(5a)) * (sin(a) / cos(a))

Используя определение тангенса, мы получаем:

= - tan(5a) * tan(a)

Таким образом, упрощенное выражение:

-(tan(5a) * tan(a))