Как можно упростить выражение sin 4β + sin 10β + sin 22β + sin 16β?

Математика 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения тригонометрические функции sin 4β sin 10β sin 22β sin 16β математические преобразования Новый

Чтобы упростить выражение sin 4β + sin 10β + sin 22β + sin 16β, мы можем использовать формулы для суммы синусов. Напомним, что сумма двух синусов можно выразить через произведение:

sin A + sin B = 2 * sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2).

Теперь давайте сгруппируем наши слагаемые по парам:

• Первая пара: sin 4β и sin 22β
• Вторая пара: sin 10β и sin 16β

Начнем с первой пары:

1. Для A = 22β и B = 4β:
• Считаем (A + B)/2 = (22β + 4β)/2 = 13β.
• Считаем (A - B)/2 = (22β - 4β)/2 = 9β.
2. Таким образом, sin 4β + sin 22β = 2 * sin(13β) * cos(9β).

Теперь переходим ко второй паре:

1. Для A = 16β и B = 10β:
• Считаем (A + B)/2 = (16β + 10β)/2 = 13β.
• Считаем (A - B)/2 = (16β - 10β)/2 = 3β.
2. Таким образом, sin 10β + sin 16β = 2 * sin(13β) * cos(3β).

Теперь подставим эти результаты обратно в исходное выражение:

sin 4β + sin 10β + sin 22β + sin 16β = (2 * sin(13β) * cos(9β)) + (2 * sin(13β) * cos(3β)).

Теперь можно вынести общий множитель:

2 * sin(13β) * (cos(9β) + cos(3β)).

Теперь у нас есть упрощенное выражение:

2 * sin(13β) * (cos(9β) + cos(3β)).

Таким образом, мы упростили исходное выражение до этого вида.