Чтобы вычислить производные данных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило степени, производные тригонометрических функций и правила произведения и частного. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Для этой функции мы применим правило дифференцирования для степенной функции:

• Производная (k*x^n) = k*n*x^(n-1), где k - коэффициент, n - степень.

Теперь вычислим производную:

1. Производная (5/7)x^4 = (5/7)*4*x^(4-1) = (20/7)x^3
2. Производная 4x^3 = 4*3*x^(3-1) = 12x^2
3. Производная (2/3)x = (2/3)*1*x^(1-1) = (2/3)
4. Производная -2 = 0 (константа).

Соберем все вместе:

y' = (20/7)x^3 + 12x^2 + (2/3)

Здесь мы используем производные для корня, косинуса и котангенса:

• Производная √x = (1/2)x^(-1/2)
• Производная cos(kx) = -k*sin(kx)
• Производная ctg(x) = -csc^2(x)

Вычисляем производную:

1. Производная 7√x = 7*(1/2)x^(-1/2) = (7/2)x^(-1/2) = (7/(2√x))
2. Производная 0,5 cos(6x) = 0,5*(-6 sin(6x)) = -3 sin(6x)
3. Производная -3 ctg(x) = -3*(-csc^2(x)) = 3 csc^2(x)

Соберем все вместе:

y' = (7/(2√x)) - 3 sin(6x) + 3 csc^2(x)

Здесь мы используем правило произведения:

• Если y = u*v, то y' = u'v + uv'

Где u = √x, v = (5x - 3). Сначала найдем производные u и v:

1. u = √x, u' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)
2. v = 5x - 3, v' = 5

Теперь применим правило произведения:

y' = (1/(2√x))(5x - 3) + √x*5

Упростим:

y' = (5x - 3)/(2√x) + 5√x

Здесь мы используем правило частного:

• Если y = u/v, то y' = (u'v - uv')/v^2

Где u = -3x, v = x^2 + 2. Найдем производные u и v:

1. u = -3x, u' = -3
2. v = x^2 + 2, v' = 2x

Теперь применим правило частного:

y' = (-3)(x^2 + 2) - (-3x)(2x)/(x^2 + 2)^2

Упростим:

y' = -3(x^2 + 2) + 6x^2/(x^2 + 2)^2

Таким образом, мы получили производные для всех функций.