Для вычисления производной функции F(x) = 4 sin(x) + 5 cos(x) необходимо воспользоваться правилами дифференцирования, которые являются основными в математическом анализе. Рассмотрим процесс более подробно.

1. Определение функции: У нас есть функция F(x),которая состоит из двух частей: 4 sin(x) и 5 cos(x).
2. Применение правил дифференцирования: Для нахождения производной необходимо использовать следующие правила:
   • Производная синуса: Если f(x) = sin(x),то f'(x) = cos(x).
   • Производная косинуса: Если g(x) = cos(x),то g'(x) = -sin(x).
   • Константа при функции: Если функция умножена на константу, то производная равна произведению этой константы на производную функции. То есть, если h(x) = k * f(x),то h'(x) = k * f'(x),где k – константа.
3. Вычисление производной: Теперь применим эти правила к каждой части функции F(x):
   • Для первой части 4 sin(x): производная будет равна 4 * cos(x).
   • Для второй части 5 cos(x): производная будет равна 5 * (-sin(x)),что равно -5 sin(x).
4. Сложение результатов: Теперь мы складываем производные обеих частей:
   • F'(x) = 4 cos(x) - 5 sin(x).

Таким образом, производная функции F(x) = 4 sin(x) + 5 cos(x) равна F'(x) = 4 cos(x) - 5 sin(x).