Как можно вычислить производную функции у=(12х²+4х-7) / (5х-3)?

Математика 11 класс Производные и дифференцирование производная функции вычисление производной математика 11 класс дробная функция правила дифференцирования Новый

Для вычисления производной функции у=(12х²+4х-7) / (5х-3) мы воспользуемся правилом дифференцирования дроби, которое называется правилом Лейбница. Это правило гласит, что производная дроби u/v равна:

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

Где u и v - это числитель и знаменатель дроби соответственно, а u' и v' - их производные.

Теперь давайте определим u и v:

• u = 12x² + 4x - 7
• v = 5x - 3

Теперь найдем производные u' и v':

• u' = d(12x² + 4x - 7)/dx = 24x + 4
• v' = d(5x - 3)/dx = 5

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

y' = (u'v - uv') / v²

Подставим значения:

• y' = ((24x + 4)(5x - 3) - (12x² + 4x - 7)(5)) / (5x - 3)²

Теперь давайте упростим числитель:

1. Сначала вычислим (24x + 4)(5x - 3):
• 24x * 5x = 120x²
• 24x * (-3) = -72x
• 4 * 5x = 20x
• 4 * (-3) = -12
2. Сложим все вместе: 120x² - 72x + 20x - 12 = 120x² - 52x - 12

Теперь вычислим (12x² + 4x - 7)(5):

• 12x² * 5 = 60x²
• 4x * 5 = 20x
• -7 * 5 = -35

Сложим: 60x² + 20x - 35

Теперь подставим все в числитель:

y' = (120x² - 52x - 12 - (60x² + 20x - 35)) / (5x - 3)²

Упростим числитель:

• 120x² - 60x² = 60x²
• -52x - 20x = -72x
• -12 + 35 = 23

Таким образом, числитель будет:

60x² - 72x + 23

Теперь подставим это в окончательную формулу:

y' = (60x² - 72x + 23) / (5x - 3)²

Это и есть производная функции у=(12х²+4х-7) / (5х-3).