Как можно вычислить производные следующих функций?

1. а) y = tg^4(2x) * arcsin(4x^3)
2. б) y = (3x^4) / (tg^2(x))
3. в) y = (5x^3) / (cos(√x))
4. г) y = arcsin^3(2x) * ctg(7x^4)

Математика 11 класс Производные функций вычисление производных производные функций математика 11 класс производные tg производные arcsin производные дробей производные cos производные ctg Новый

Чтобы вычислить производные данных функций, мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило произведения, правило частного и цепное правило. Давайте разберем каждую функцию по порядку.

а) y = tg^4(2x) * arcsin(4x^3)

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом произведения:

1. Обозначим u = tg^4(2x) и v = arcsin(4x^3).
2. Найдем производные u и v:
• Для u = tg^4(2x) используем цепное правило:
  • u' = 4 * tg^3(2x) * (sec^2(2x) * 2) = 8 * tg^3(2x) * sec^2(2x).
• Для v = arcsin(4x^3) также используем цепное правило:
  • v' = 1 / sqrt(1 - (4x^3)^2) * (12x^2) = 12x^2 / sqrt(1 - 16x^6).
3. Теперь применим правило произведения:
   • y' = u'v + uv' = (8 * tg^3(2x) * sec^2(2x)) * arcsin(4x^3) + tg^4(2x) * (12x^2 / sqrt(1 - 16x^6)).

б) y = (3x^4) / (tg^2(x))

Здесь мы используем правило частного:

1. Обозначим u = 3x^4 и v = tg^2(x).
2. Найдем производные u и v:
• u' = 12x^3.
• v' = 2 * tg(x) * sec^2(x).
3. Теперь применим правило частного:
   • y' = (u'v - uv') / v^2 = (12x^3 * tg^2(x) - 3x^4 * 2 * tg(x) * sec^2(x)) / (tg^2(x))^2.

в) y = (5x^3) / (cos(√x))

Снова используем правило частного:

1. Обозначим u = 5x^3 и v = cos(√x).
2. Найдем производные u и v:
• u' = 15x^2.
• v' = -sin(√x) * (1 / (2√x)) = -sin(√x) / (2√x).
3. Теперь применим правило частного:
   • y' = (u'v - uv') / v^2 = (15x^2 * cos(√x) + 5x^3 * (sin(√x) / (2√x))) / (cos(√x))^2.

г) y = arcsin^3(2x) * ctg(7x^4)

Для этой функции также используем правило произведения:

1. Обозначим u = arcsin^3(2x) и v = ctg(7x^4).
2. Найдем производные u и v:
• Для u = arcsin^3(2x):
  • u' = 3 * arcsin^2(2x) * (1 / sqrt(1 - (2x)^2)) * 2 = (6 * arcsin^2(2x)) / sqrt(1 - 4x^2).
• Для v = ctg(7x^4):
  • v' = -csc^2(7x^4) * (28x^3).
3. Теперь применим правило произведения:
   • y' = u'v + uv' = ((6 * arcsin^2(2x)) / sqrt(1 - 4x^2)) * ctg(7x^4) - arcsin^3(2x) * (28x^3 * csc^2(7x^4)).

Таким образом, мы нашли производные всех четырех функций, используя основные правила дифференцирования.