Как найти экстремумы функции f(x)=2x^3+4x^2+2x+3?

Математика 11 класс Экстремумы функций экстремумы функции нахождение экстремумов f(x)=2x^3+4x^2+2x+3 производная функции анализ функции Новый

Чтобы найти экстремумы функции f(x) = 2x³ + 4x² + 2x + 3, необходимо выполнить несколько шагов. Экстремумы функции — это точки, в которых функция достигает локального максимума или минимума. Для этого следуем следующему алгоритму:

1. Найти производную функции.

   Сначала находим первую производную функции f(x). Производная показывает, как изменяется функция, и экстремумы находятся в точках, где производная равна нулю.

   f'(x) = d/dx (2x³ + 4x² + 2x + 3) = 6x² + 8x + 2.

2. Приравнять производную к нулю.

   Теперь мы приравниваем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   6x² + 8x + 2 = 0.

3. Решить уравнение.

   Чтобы решить это квадратное уравнение, можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 6, b = 8, c = 2.

   Сначала находим дискриминант:

   D = b² - 4ac = 8² - 4 * 6 * 2 = 64 - 48 = 16.

   Так как дискриминант больше нуля, у нас два различных корня:

   x₁ = (-8 + √16) / (2 * 6) = (-8 + 4) / 12 = -4 / 12 = -1/3.

   x₂ = (-8 - √16) / (2 * 6) = (-8 - 4) / 12 = -12 / 12 = -1.

4. Определить тип экстремума.

   Теперь нам нужно определить, являются ли найденные точки максимумами или минимумами. Для этого мы можем использовать вторую производную:

   Находим вторую производную:

   f''(x) = d/dx (6x² + 8x + 2) = 12x + 8.

   Теперь подставляем найденные значения x в f''(x):

   • Для x = -1/3: f''(-1/3) = 12 * (-1/3) + 8 = -4 + 8 = 4 (положительное значение, значит, это минимум).
   • Для x = -1: f''(-1) = 12 * (-1) + 8 = -12 + 8 = -4 (отрицательное значение, значит, это максимум).
5. Записать результаты.

   Таким образом, мы нашли экстремумы:

   • Минимум в точке x = -1/3.
   • Максимум в точке x = -1.

Теперь вы знаете, как находить экстремумы функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.