Как найти интервалы, на которых функция f(x)=2+3x^2-x^3 убывает?

Математика 11 класс Анализ функций функция f(x) интервалы убывания математика 11 класс нахождение интервалов производная функции Новый

Чтобы найти интервалы, на которых функция f(x) = 2 + 3x^2 - x^3 убывает, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x). Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении x. Для данной функции:
• f'(x) = d(2 + 3x^2 - x^3)/dx = 0 + 6x - 3x^2 = 6x - 3x^2.
2. Упростить производную. Мы можем вынести общий множитель:
• f'(x) = 3x(2 - x).
3. Найти критические точки. Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. В нашем случае:
• 3x(2 - x) = 0.
• Это уравнение равно нулю, когда 3x = 0 или 2 - x = 0.
• Решая эти уравнения, получаем:
• x = 0 и x = 2.
4. Определить знаки производной на интервалах. Мы будем исследовать знаки производной на интервалах, образованных критическими точками. Это интервалы: (-∞, 0), (0, 2) и (2, ∞).
5. Выбрать тестовые точки в каждом из интервалов:
• Для интервала (-∞, 0) можно взять x = -1:
• f'(-1) = 3(-1)(2 - (-1)) = 3(-1)(3) = -9 (отрицательное).
• Для интервала (0, 2) можно взять x = 1:
• f'(1) = 3(1)(2 - 1) = 3(1)(1) = 3 (положительное).
• Для интервала (2, ∞) можно взять x = 3:
• f'(3) = 3(3)(2 - 3) = 3(3)(-1) = -9 (отрицательное).
6. Сделать вывод о знаках производной:
• На интервале (-∞, 0) производная отрицательна, значит функция убывает.
• На интервале (0, 2) производная положительна, значит функция возрастает.
• На интервале (2, ∞) производная отрицательна, значит функция убывает.

Итак, функция f(x) убывает на интервалах: (-∞, 0) и (2, ∞).