Как найти интервалы, на которых функция f(x)=2+9x+3x²-x³ увеличивается и уменьшается?

Математика 11 класс Анализ функций интервалы функции увеличивающаяся функция уменьшающаяся функция f(x)=2+9x+3x²-x³ анализ функции производная функции экстремумы функции Новый

Чтобы найти интервалы, на которых функция f(x) = 2 + 9x + 3x² - x³ увеличивается и уменьшается, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции f(x).

Производная функции f(x) будет обозначаться как f'(x). Мы вычисляем производную по правилу дифференцирования:

f'(x) = d/dx(2) + d/dx(9x) + d/dx(3x²) - d/dx(x³)

f'(x) = 0 + 9 + 6x - 3x²

Таким образом, f'(x) = 9 + 6x - 3x².

2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек мы решим уравнение:

9 + 6x - 3x² = 0.

Это квадратное уравнение можно привести к стандартному виду:

-3x² + 6x + 9 = 0.

Умножим все члены на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при x²:

3x² - 6x - 9 = 0.

Теперь можно использовать дискриминант для решения этого уравнения:

D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 3 * (-9) = 36 + 108 = 144.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня.

Корни находятся по формуле:

x = (-b ± √D) / 2a.

Подставляем значения:

x1 = (6 + √144) / 6 = (6 + 12) / 6 = 3,

x2 = (6 - √144) / 6 = (6 - 12) / 6 = -1.

3. Определить знаки производной на интервалах.

Теперь у нас есть критические точки x = -1 и x = 3. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -1)
• (-1, 3)
• (3, +∞)

Теперь мы проверим знак производной на каждом из этих интервалов, подставляя тестовые точки:

• Для интервала (-∞, -1), например, x = -2:

f'(-2) = 9 + 6(-2) - 3(-2)² = 9 - 12 - 12 = -15 (отрицательный знак).

• Для интервала (-1, 3), например, x = 0:

f'(0) = 9 + 6(0) - 3(0)² = 9 (положительный знак).

• Для интервала (3, +∞), например, x = 4:

f'(4) = 9 + 6(4) - 3(4)² = 9 + 24 - 48 = -15 (отрицательный знак).

4. Сделать вывод.

Теперь мы можем сделать вывод о том, на каких интервалах функция увеличивается или уменьшается:

• На интервале (-∞, -1) функция убывает (f' < 0).
• На интервале (-1, 3) функция возрастает (f' > 0).
• На интервале (3, +∞) функция снова убывает (f' < 0).

Таким образом, функция f(x) увеличивается на интервале (-1, 3) и уменьшается на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞).