Как найти интервалы возрастания и убывания функции, а также экстремумы функции f(x) = x^3 - 27x?

Математика 11 класс Анализ функций интервалы возрастания интервалы убывания экстремумы функции функция f(x) анализ функции производная функции задачи по математике математика 11 класс Новый

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, а также её экстремумы, нам нужно следовать определённым шагам. Рассмотрим функцию f(x) = x^3 - 27x.

1. Находим производную функции.

Для начала, мы найдем первую производную функции f(x). Это поможет нам определить, где функция возрастает или убывает.

Производная f'(x) вычисляется следующим образом:

f'(x) = 3x^2 - 27.

2. Находим критические точки.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:

3x^2 - 27 = 0.

Разделим обе стороны на 3:

x^2 - 9 = 0.

Теперь решим это уравнение:

(x - 3)(x + 3) = 0.

Таким образом, критические точки:

• x = 3
• x = -3
3. Исследуем знак производной.

Теперь нам нужно определить знак производной f'(x) на интервалах, которые образованы критическими точками. Мы рассмотрим интервалы:

• (-∞, -3)
• (-3, 3)
• (3, ∞)

Теперь подставим тестовые точки из каждого интервала в производную f'(x):

• Для интервала (-∞, -3), например, возьмем x = -4:

f'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 (положительно).

• Для интервала (-3, 3), например, возьмем x = 0:

f'(0) = 3(0)^2 - 27 = 0 - 27 = -27 (отрицательно).

• Для интервала (3, ∞), например, возьмем x = 4:

f'(4) = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 (положительно).

4. Определяем интервалы возрастания и убывания.

На основе знаков производной мы можем сделать следующие выводы:

• На интервале (-∞, -3) функция возрастает.
• На интервале (-3, 3) функция убывает.
• На интервале (3, ∞) функция снова возрастает.
5. Находим экстремумы функции.

Экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю:

• f(3) = 3^3 - 27*3 = 27 - 81 = -54 (локальный минимум).
• f(-3) = (-3)^3 - 27*(-3) = -27 + 81 = 54 (локальный максимум).

Таким образом, мы нашли интервалы возрастания и убывания функции, а также её экстремумы:

• Функция возрастает на интервалах (-∞, -3) и (3, ∞).
• Функция убывает на интервале (-3, 3).
• Локальный минимум в точке x = 3, значение функции -54.
• Локальный максимум в точке x = -3, значение функции 54.