Как найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции: y=x^4-2x^2+1?

Математика 11 класс Анализ функций интервалы возрастания интервалы убывания экстремумы функции y=x^4-2x^2+1 анализ функции производная функции нахождение экстремумов математический анализ Новый

Чтобы найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y = x^4 - 2x^2 + 1, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти производную функции.

Сначала найдем первую производную функции y по x:

y' = 4x^3 - 4x

2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение:

4x^3 - 4x = 0

Вынесем 4x за скобки:

4x(x^2 - 1) = 0

Теперь решим это уравнение:

• 4x = 0 → x = 0
• x^2 - 1 = 0 → x^2 = 1 → x = ±1

Таким образом, наши критические точки: x = -1, x = 0, x = 1.

3. Определить интервалы.

Теперь определим интервалы, на которых функция возрастает или убывает. Для этого рассмотрим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• Интервал (-∞, -1)
• Интервал (-1, 0)
• Интервал (0, 1)
• Интервал (1, +∞)
4. Проверить знак производной на каждом интервале.

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -1), возьмем x = -2:

y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 (отрицательный)

• Для интервала (-1, 0), возьмем x = -0.5:

y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 (положительный)

• Для интервала (0, 1), возьмем x = 0.5:

y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 (отрицательный)

• Для интервала (1, +∞), возьмем x = 2:

y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 (положительный)

5. Сделать выводы о возрастании и убывании.

На основании знаков производной мы можем сделать следующие выводы:

• Функция убывает на интервале (-∞, -1).
• Функция возрастает на интервале (-1, 0).
• Функция убывает на интервале (0, 1).
• Функция возрастает на интервале (1, +∞).
6. Найти экстремумы.

Теперь мы можем определить экстремумы функции:

• На x = -1 функция имеет максимум, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.
• На x = 0 функция имеет минимум, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.
• На x = 1 функция имеет максимум, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Таким образом, мы нашли интервалы возрастания и убывания, а также экстремумы функции y = x^4 - 2x^2 + 1.