Как найти корни уравнения cos 10x cos 5x = cos 5x и записать сумму корней в виде десятичной дроби, если эти корни принадлежат отрезку [−π/2; 0], деленную на π?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций корни уравнения cos 10x cos 5x сумма корней десятичная дробь отрезок [-π/2; 0] деление на π Новый

Для решения уравнения cos 10x cos 5x = cos 5x начнем с того, что можно упростить это уравнение. Переносим cos 5x на левую сторону:

cos 10x cos 5x - cos 5x = 0

Теперь можем вынести общий множитель:

cos 5x (cos 10x - 1) = 0

Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. cos 5x = 0
2. cos 10x - 1 = 0

Теперь решим каждый из случаев по отдельности.

1. Решение уравнения cos 5x = 0

Уравнение cos 5x = 0 имеет решение:

5x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

Отсюда:

x = (2k + 1)π/10.

Теперь найдем значения x, которые принадлежат отрезку [−π/2; 0]:

Рассмотрим значения k:

• Для k = -1: x = (2*(-1) + 1)π/10 = -π/10;
• Для k = 0: x = (2*0 + 1)π/10 = π/10 (не подходит, так как больше 0);
• Для k = -2: x = (2*(-2) + 1)π/10 = -3π/10 (не подходит, так как меньше -π/2);

Таким образом, из первого уравнения мы получили один корень: x1 = -π/10.

2. Решение уравнения cos 10x - 1 = 0

Уравнение cos 10x - 1 = 0 имеет решение:

10x = 2kπ, где k - целое число.

Отсюда:

x = kπ/5.

Теперь найдем значения x, которые принадлежат отрезку [−π/2; 0]:

Рассмотрим значения k:

• Для k = -1: x = (-1)π/5 = -π/5;
• Для k = 0: x = 0 (не подходит, так как больше 0);
• Для k = -2: x = (-2)π/5 = -2π/5 (не подходит, так как меньше -π/2);

Таким образом, из второго уравнения мы получили один корень: x2 = -π/5.

Сумма корней

Теперь у нас есть два корня: x1 = -π/10 и x2 = -π/5. Найдем их сумму:

Сумма = x1 + x2 = -π/10 - π/5.

Приведем к общему знаменателю:

-π/10 - 2π/10 = -3π/10.

Теперь запишем сумму корней в виде десятичной дроби, деленной на π:

Сумма корней = -3/10.

Таким образом, ответ: -0.3.