Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(х)=х^3-3х^2-9х на промежутке [-2;4]?

Математика 11 класс Оптимизация функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции функция f(x) нахождение экстремумов промежуток [-2;4] производная функции анализ функции математический анализ 11 класс математика задачи на экстремумы Новый

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x на заданном промежутке [-2; 4], необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. Это нужно для определения критических точек, где функция может принимать экстремальные значения.

Находим производную:

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9.

1. Решить уравнение f'(x) = 0. Это позволит найти критические точки.

Решаем уравнение:

3x^2 - 6x - 9 = 0.

Делим все уравнение на 3:

x^2 - 2x - 3 = 0.

Теперь применяем формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.

Находим дискриминант:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Теперь находим корни:

x1 = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3,

x2 = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1.

1. Определить значения функции в критических точках и на границах промежутка.

Теперь нам нужно найти значения функции f(x) в точках x = -2, x = -1, x = 3 и x = 4:

1. f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) = -8 - 12 + 18 = -2.

2. f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5.

3. f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27.

4. f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) = 64 - 48 - 36 = -20.

1. Сравнить найденные значения. Мы нашли следующие значения:

• f(-2) = -2
• f(-1) = 5
• f(3) = -27
• f(4) = -20

Теперь сравниваем эти значения:

Наибольшее значение функции на промежутке [-2; 4] равно 5, а наименьшее значение равно -27.

Ответ: Наибольшее значение функции f(x) на промежутке [-2; 4] равно 5, наименьшее значение равно -27.