Найдите наименьшее значение функции.

Математика 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функции математика 11 класс оптимизация функции нахождение минимума анализ функций график функции математический анализ экстремумы функции задачи по математике учебник математики 11 класс Новый

Задача: Найдите наименьшее значение функции y = 4^(x^2 - 2x + 5).

Решение:

Давайте разберем, как найти наименьшее значение данной функции. Мы видим, что это показательная функция, где основание 4 больше 1. Показательные функции с основанием больше 1 являются возрастающими, поэтому их минимальное значение достигается при минимальном значении аргумента.

В нашем случае аргументом является квадратный трехчлен x^2 - 2x + 5. Чтобы найти его минимальное значение, мы можем воспользоваться свойством параболы. График функции y = x^2 - 2x + 5 представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при x^2 положителен (1 > 0).

Минимум параболы находится в вершине, которую можно вычислить по формуле x = -b/(2a), где a и b — это коэффициенты квадратного уравнения. В нашем случае a = 1, b = -2. Подставляем значения:

• x = -(-2)/(2*1) = 1.

Теперь, когда мы нашли x = 1, подставим это значение в наш квадратный трехчлен, чтобы найти минимальное значение:

• y = 4^(1^2 - 2*1 + 5).
• y = 4^(1 - 2 + 5) = 4^4.
• y = 256.

Таким образом, наименьшее значение функции y = 4^(x^2 - 2x + 5) равно 256.

Ответ: ymin = 256.

Также можно провести исследование функции, используя производную. Найдем производную функции:

• y' = (4^(x^2 - 2x + 5))' = 4^(x^2 - 2x + 5) * (ln(4)) * (x^2 - 2x + 5)'.
• y' = 4^(x^2 - 2x + 5) * (ln(4)) * (2x - 2).

Теперь определим критические точки, приравняв производную к нулю:

• 4^(x^2 - 2x + 5) * (ln(4)) * (2x - 2) = 0.
• Это уравнение будет равно нулю, когда 2x - 2 = 0, что дает x = 1.

Теперь исследуем знаки первой производной на числовой оси:

• Знаки: - 0 +
• Числовая ось: ----------------!-----------
• Точка: 1

Мы видим, что в точке x = 1 функция имеет минимум, что подтверждает наше предыдущее вычисление. Таким образом, наименьшее значение функции y = 4^(x^2 - 2x + 5) действительно равно 256.