Какое наименьшее значение функции у=е^2x-5e^x-2 можно найти на отрезке [-2;1]?

Математика 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функция е^2x 5e^x 2 отрезок [-2;1] математика 11 класс анализ функции экстремумы производная график функции Новый

Для нахождения наименьшего значения функции y = e^(2x) - 5e^x - 2 на отрезке [-2; 1], мы будем использовать методы анализа функции, такие как нахождение производной и изучение её критических точек.

Шаг 1: Найдем производную функции.

• Функция y = e^(2x) - 5e^x - 2.
• Найдем производную y': y' = 2e^(2x) - 5e^x.

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.

• 2e^(2x) - 5e^x = 0.
• Можно вынести e^x за скобки: e^x(2e^x - 5) = 0.
• Поскольку e^x никогда не равно нулю, решим уравнение 2e^x - 5 = 0.
• Таким образом, 2e^x = 5, и мы получаем e^x = 5/2.
• Теперь найдем x: x = ln(5/2).

Шаг 3: Определим, попадает ли найденная критическая точка в наш отрезок [-2; 1].

• Проверим значение ln(5/2): это примерно 0.916, что действительно находится в границах отрезка [-2; 1].

Шаг 4: Теперь нам нужно вычислить значения функции y на границах отрезка и в критической точке.

• Подставим x = -2: y(-2) = e^(-4) - 5e^(-2) - 2.
• Подставим x = 1: y(1) = e^(2) - 5e - 2.
• Подставим x = ln(5/2): y(ln(5/2)) = e^(2*ln(5/2)) - 5*(5/2) - 2 = (5^2/4) - (25/2) - 2 = 25/4 - 25/2 - 2 = 25/4 - 50/4 - 8/4 = -33/4.

Шаг 5: Сравним полученные значения:

• y(-2) = e^(-4) - 5e^(-2) - 2 (приблизительно -2.21),
• y(1) = e^(2) - 5e - 2 (приблизительно -7.39),
• y(ln(5/2)) = -33/4 (приблизительно -8.25).

Шаг 6: Наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1] будет равно минимальному из этих значений.

Таким образом, наименьшее значение функции y на отрезке [-2; 1] составляет примерно -8.25 и достигается в точке x = ln(5/2).