Помогите :) Найдите наименьшее значение функции e^4x - 5e^2x + 11 на отрезке (0; 2).

Математика 11 класс Оптимизация функций наименьшее значение функция e^4x e^2x отрезок 0 2 математика 11 класс оптимизация анализ функции производная экстремумы Новый

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) = e^(4x) - 5e^(2x) + 11 на отрезке (0; 2), следуем следующему алгоритму:

1. Найдем производную функции f(x):

Производная функции позволяет нам найти критические точки, где функция может принимать минимальные или максимальные значения. Вычислим производную:

f'(x) = d/dx(e^(4x)) - 5 * d/dx(e^(2x)) = 4e^(4x) - 10e^(2x).

2. Найдем критические точки:

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

4e^(4x) - 10e^(2x) = 0.

Можно вынести общий множитель e^(2x):

e^(2x)(4e^(2x) - 10) = 0.

Поскольку e^(2x) никогда не равен нулю, решаем уравнение:

4e^(2x) - 10 = 0.

Отсюда:

e^(2x) = 10/4 = 2.5.

Теперь найдем x:

2x = ln(2.5) => x = ln(2.5)/2.

3. Проверим, попадает ли найденная критическая точка в наш отрезок (0; 2):

Сначала вычислим значение ln(2.5):

ln(2.5) примерно равно 0.916, следовательно:

x = ln(2.5)/2 ≈ 0.458.

Эта точка находится в пределах отрезка (0; 2).

4. Теперь найдем значения функции f(x) в критической точке и на границах отрезка:
• На границе x = 0:

f(0) = e^(0) - 5e^(0) + 11 = 1 - 5 + 11 = 7.

• На границе x = 2:

f(2) = e^(8) - 5e^(4) + 11.

Это значение можно посчитать, но оно будет значительно больше 7.

• В критической точке x = ln(2.5)/2:

f(ln(2.5)/2) = e^(4 * ln(2.5)/2) - 5e^(2 * ln(2.5)/2) + 11.

Это также можно упростить, но для оценки достаточно знать, что это значение будет меньше, чем f(2).

5. Сравним полученные значения:

Теперь сравним значения:

• f(0) = 7
• f(2) = e^(8) - 5e^(4) + 11 (значение больше 7)
• f(ln(2.5)/2) (значение также будет больше 7)
6. Вывод:

Наименьшее значение функции f(x) на отрезке (0; 2) равно 7 и достигается в точке x = 0.