Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала построим график функции y = -x² + 4x + 5. Это парабола, открытая вниз. Для построения графика найдем вершину параболы, используя формулу x = -b/(2a), где a = -1 и b = 4.

• Вершина: x = -4 / (2 * -1) = 2.

Теперь подставим x = 2 в уравнение функции, чтобы найти координаты вершины:

• y = -2² + 4*2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 9).

Теперь построим линии y = 0 (ось абсцисс), x = 0 (ось ординат) и x = 4. Линия x = 4 будет вертикальной линией, проходящей через точку (4, 0).

Криволинейная трапеция будет образована между графиком функции, осью абсцисс и вертикальными линиями x = 0 и x = 4. Мы видим, что парабола пересекает ось абсцисс, когда y = 0.

Решим уравнение -x² + 4x + 5 = 0:

• Перепишем уравнение: x² - 4x - 5 = 0.
• Найдем корни с помощью дискриминанта: D = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36.
• Корни: x1,2 = (4 ± √36) / 2 = (4 ± 6) / 2 ⇒ x1 = 5, x2 = -1.

Нас интересует область от x = 0 до x = 4.

Площадь криволинейной трапеции можно найти, используя интеграл:

Площадь = ∫(от 0 до 4) (-x² + 4x + 5) dx.

Теперь вычислим интеграл:

• ∫(-x² + 4x + 5) dx = -x³/3 + 4x²/2 + 5x + C = -x³/3 + 2x² + 5x.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 4:

• F(4) = -4³/3 + 2*4² + 5*4 = -64/3 + 32 + 20 = -64/3 + 52 = 156/3 - 64/3 = 92/3.
• F(0) = 0.

Теперь найдем площадь:

Площадь = F(4) - F(0) = 92/3 - 0 = 92/3.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, равна 92/3 квадратных единиц.