Для вычисления интеграла \( \int_L x \, dy \), где \( L \) представляет собой отрезок прямой, заданной уравнением \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \), нам нужно сначала определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

1. **Найдем точки пересечения с осями координат**:

• Пересечение с осью абсцисс (y = 0):
1. Подставим y = 0 в уравнение:
2. Получим: \( \frac{x}{a} + 0 = 1 \) или \( x = a \).
3. Таким образом, первая точка пересечения: \( A(a, 0) \).
• Пересечение с осью ординат (x = 0):
1. Подставим x = 0 в уравнение:
2. Получим: \( 0 + \frac{y}{b} = 1 \) или \( y = b \).
3. Таким образом, вторая точка пересечения: \( B(0, b) \).

2. **Теперь определим, как выразить dy через dx**:

Из уравнения прямой можно выразить y:

y = b(1 - x/a).

Теперь найдем производную dy/dx:

dy/dx = -b/a.

3. **Теперь мы можем выразить dy через dx:**

dy = (-b/a) dx.

4. **Теперь подставим выражение для dy в интеграл:**

Интеграл \( \int_L x \, dy \) можно записать как:

\( \int_{x=a}^{x=0} x \cdot dy = \int_{a}^{0} x \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) dx \).

5. **Упрощаем интеграл:**

Теперь мы можем вынести постоянный множитель из интеграла:

\( -\frac{b}{a} \int_{a}^{0} x \, dx \).

6. **Вычислим интеграл \( \int x \, dx \):**

Интеграл от x равен \( \frac{x^2}{2} \), поэтому:

\( -\frac{b}{a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{a}^{0} = -\frac{b}{a} \left( \frac{0^2}{2} - \frac{a^2}{2} \right) = -\frac{b}{a} \left( 0 - \frac{a^2}{2} \right) = \frac{b a}{2}. \)

7. **Следовательно, ответ для интеграла:**

\( \int_L x \, dy = \frac{b a}{2}. \)

Таким образом, мы вычислили интеграл, и его значение равно \( \frac{b a}{2} \).