Чтобы найти производную функции f(x) = (2x^3 - 4x) / x^2, мы можем использовать правило частного для нахождения производной дробной функции. Правило частного гласит, что если у нас есть функция вида u/v, то производная этой функции вычисляется по формуле:

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Где:

• u - числитель
• v - знаменатель
• u' - производная числителя
• v' - производная знаменателя

Теперь давайте определим u и v:

• u = 2x^3 - 4x
• v = x^2

Теперь найдем производные u' и v':

• u' = (2x^3 - 4x)' = 6x^2 - 4 (производная первого слагаемого 2x^3 равна 6x^2, а производная второго -4)
• v' = (x^2)' = 2x (производная x^2 равна 2x)

Теперь подставим все найденные значения в формулу для производной:

f'(x) = (u'v - uv') / v^2

Подставим значения:

f'(x) = ((6x^2 - 4) * x^2 - (2x^3 - 4x) * 2x) / (x^2)^2

Теперь упростим числитель:

• (6x^2 - 4) * x^2 = 6x^4 - 4x^2
• (2x^3 - 4x) * 2x = 4x^4 - 8x^2

Теперь подставим эти упрощенные выражения в числитель:

f'(x) = (6x^4 - 4x^2 - (4x^4 - 8x^2)) / x^4

Упрощаем числитель:

f'(x) = (6x^4 - 4x^2 - 4x^4 + 8x^2) / x^4

f'(x) = (2x^4 + 4x^2) / x^4

Теперь можно разделить каждое слагаемое на x^4:

f'(x) = 2 + 4/x^2

Таким образом, производная функции f(x) = (2x^3 - 4x) / x^2 равна:

f'(x) = 2 + 4/x^2