Как найти производную функции (2x3-4x)/x2?

Математика 11 класс Производные функций найти производную функции производная математика 11 класс функции дробные функции решение производной математический анализ Новый

Чтобы найти производную функции f(x) = (2x^3 - 4x) / x^2, мы можем использовать правило частного, так как функция представлена в виде дроби. Правило частного гласит, что если у нас есть функция в виде f(x) = g(x) / h(x), то её производная вычисляется по формуле:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2

Теперь давайте определим g(x) и h(x):

• g(x) = 2x^3 - 4x
• h(x) = x^2

Теперь найдем производные g'(x) и h'(x):

• g'(x) = 6x^2 - 4 (производная от 2x^3 - 4x)
• h'(x) = 2x (производная от x^2)

Теперь подставим все найденные значения в формулу для производной:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2

Подставляем:

f'(x) = ((6x^2 - 4) * x^2 - (2x^3 - 4x) * 2x) / (x^2)^2

Теперь упростим числитель:

• (6x^2 - 4) * x^2 = 6x^4 - 4x^2
• (2x^3 - 4x) * 2x = 4x^4 - 8x^2

Теперь подставим упрощенные выражения в числитель:

f'(x) = (6x^4 - 4x^2 - (4x^4 - 8x^2)) / x^4

Упрощаем числитель:

6x^4 - 4x^2 - 4x^4 + 8x^2 = (6x^4 - 4x^4) + (-4x^2 + 8x^2) = 2x^4 + 4x^2

Теперь подставим это в производную:

f'(x) = (2x^4 + 4x^2) / x^4

Теперь можем разделить каждое слагаемое на x^4:

f'(x) = 2 + 4/x^2

Таким образом, производная функции f(x) = (2x^3 - 4x) / x^2 равна f'(x) = 2 + 4/x^2.