Как найти производную функции f(x) = 6x/√(x^2 + 1) и вычислить значение f(√3)?

Математика 11 класс Производные функций производная функции найти производную вычислить значение f(x) = 6x/√(x^2 + 1) значение f(√3) Новый

Чтобы найти производную функции f(x) = 6x / √(x² + 1), мы будем использовать правило деления и правило производной сложной функции.

Правило деления гласит, что если у нас есть функция вида u/v, то производная этой функции вычисляется по формуле:

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

В нашем случае:

• u = 6x, тогда u' = 6
• v = √(x² + 1), тогда для нахождения производной v используем правило производной корня:

Производная функции √g равна (1/2)g^(-1/2) * g'. В нашем случае g = x² + 1, поэтому:

• g' = 2x
• v' = (1/2)(x² + 1)^(-1/2) * 2x = x / √(x² + 1)

Теперь подставим все найденные производные в формулу:

f'(x) = (u'v - uv') / v² = (6 * √(x² + 1) - 6x * (x / √(x² + 1))) / (√(x² + 1))²

Упрощаем это выражение:

• В знаменателе (√(x² + 1))² = x² + 1.
• В числителе: 6√(x² + 1) - 6x² / √(x² + 1) = (6(x² + 1) - 6x²) / √(x² + 1) = 6 / √(x² + 1).

Таким образом, производная функции:

f'(x) = 6 / (x² + 1)

Теперь вычислим значение функции f(√3):

f(√3) = 6(√3) / √((√3)² + 1) = 6(√3) / √(3 + 1) = 6(√3) / √4 = 6(√3) / 2 = 3√3

Итак, мы нашли производную функции и вычислили значение f(√3):

• Производная f'(x) = 6 / (x² + 1)
• Значение f(√3) = 3√3