Как найти производную суммы и разностей двух функций, если дана функция y(x) = 2x^2 – 6x + 7 + (5/корень из х^2) и нужно вычислить y’(1)?

Также, как найти производную произведения, если у нас есть функция y(x) = (х^2 - 3) * корень из x + 4 и необходимо найти y'(3)?

Очень прошу показать решение, это срочно нужно!

Математика 11 класс Производные функций производная суммы производная разностей производная произведения y'(1) y'(3) решение производной математика 11 класс функции вычисление производной математические задачи Новый

Давайте разберем оба вопроса по очереди.

1. Нахождение производной суммы и разностей двух функций

У нас есть функция:

y(x) = 2x^2 – 6x + 7 + (5/корень из х^2).

Для начала, упростим последний член:

(5/корень из х^2) = 5/x.

Теперь функция выглядит так:

y(x) = 2x^2 – 6x + 7 + 5/x.

Чтобы найти производную y'(x), мы будем использовать правила дифференцирования:

• Производная x^n = n*x^(n-1).
• Производная константы = 0.
• Производная 1/x = -1/x^2.

Теперь найдем производную каждого члена:

1. Производная 2x^2 = 4x.
2. Производная -6x = -6.
3. Производная 7 = 0.
4. Производная 5/x = -5/x^2.

Теперь соберем все производные вместе:

y'(x) = 4x - 6 - 5/x^2.

Теперь подставим x = 1:

y'(1) = 4(1) - 6 - 5/(1^2) = 4 - 6 - 5 = -7.

Ответ: y'(1) = -7.

2. Нахождение производной произведения двух функций

У нас есть функция:

y(x) = (x^2 - 3) * корень из x + 4.

Для начала, обозначим два множителя:

• u(x) = x^2 - 3,
• v(x) = корень из x = x^(1/2).

Теперь используем правило произведения:

(uv)' = u'v + uv'.

Сначала найдем производные u' и v':

1. u'(x) = 2x.
2. v'(x) = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2*корень из x).

Теперь подставим в формулу производной произведения:

y'(x) = u'v + uv' = (2x)(корень из x) + (x^2 - 3)(1/(2*корень из x)).

Теперь упростим выражение:

y'(x) = 2x * корень из x + (x^2 - 3)/(2*корень из x).

Теперь подставим x = 3:

y'(3) = 2(3) * корень из 3 + (3^2 - 3)/(2*корень из 3) = 6*корень из 3 + (9 - 3)/(2*корень из 3) = 6*корень из 3 + 6/(2*корень из 3) = 6*корень из 3 + 3/корень из 3.

Теперь объединим оба члена:

y'(3) = 6*корень из 3 + 3/корень из 3 = (6*корень из 3^2 + 3)/(корень из 3) = (6*3 + 3)/(корень из 3) = (18 + 3)/(корень из 3) = 21/(корень из 3).

Ответ: y'(3) = 21/(корень из 3).