Как найти производную второго порядка функции Y=xsinx?

Математика 11 класс Производные функций Производная второго порядка функция Y=xsinx математика 11 класс нахождение производной производная функции Новый

Чтобы найти производную второго порядка функции Y = xsin(x), необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем первую производную Y'.

   Для этого воспользуемся правилом произведения, которое гласит, что производная произведения двух функций u и v равна:

   (u * v)' = u' * v + u * v'

   В нашем случае:

   • u = x, тогда u' = 1
   • v = sin(x), тогда v' = cos(x)

   Теперь подставим в формулу:

   Y' = u' * v + u * v' = 1 * sin(x) + x * cos(x) = sin(x) + xcos(x)

2. Теперь найдем вторую производную Y''.

   Для этого мы снова применим правило произведения к каждому слагаемому в первой производной.

   Первая производная Y' = sin(x) + xcos(x).

   Найдем производную для каждого слагаемого:

   • Для sin(x): (sin(x))' = cos(x)
   • Для xcos(x): здесь снова применяем правило произведения:
   • u = x, тогда u' = 1
   • v = cos(x), тогда v' = -sin(x)

   Таким образом, производная xcos(x) будет:

   (xcos(x))' = u' * v + u * v' = 1 * cos(x) + x * (-sin(x)) = cos(x) - xsin(x)

   Теперь сложим результаты:

   Y'' = cos(x) + (cos(x) - xsin(x)) = 2cos(x) - xsin(x)

Таким образом, вторая производная функции Y = xsin(x) равна:

Y'' = 2cos(x) - xsin(x)