Похожие вопросы
2025-12-05 06:13:56
Как найти производные функции f(x) = 4 sin x + cos 4x в точках π/4 и π/3?
Математика 11 класс Производные функций производные функции f(x) = 4 sin x + cos 4x точки π/4 точки π/3 математика 11 класс
2025-12-05 06:14:13
Чтобы найти производные функции f(x) = 4 sin x + cos 4x в точках π/4 и π/3, нам сначала нужно вычислить производную самой функции. Давайте сделаем это шаг за шагом.
Шаг 1: Найдем производную функции f(x)Функция состоит из двух частей: 4 sin x и cos 4x. Мы будем использовать правила дифференцирования для нахождения производной.
- Первая часть: производная 4 sin x. По правилу производной синуса, мы знаем, что производная sin x равна cos x. Умножаем на 4: (4 * cos x).
- Вторая часть: производная cos 4x. Здесь мы применяем правило цепочки. Производная cos u равна -sin u, где u = 4x. Также нужно умножить на производную внутренней функции 4x, которая равна 4: (-4 * sin 4x).
Таким образом, производная функции f(x) будет:
f'(x) = 4 cos x - 4 sin 4x Шаг 2: Подставим значения x = π/4 и x = π/3 в производную f'(x)- Для x = π/4:
- Находим cos(π/4) и sin(π/4):
- cos(π/4) = √2/2
- sin(π/4) = √2/2
- Находим sin(4 * π/4) = sin(π) = 0.
- Подставляем в производную: f'(π/4) = 4 * (√2/2) - 4 * 0 = 2√2.
- Находим cos(π/4) и sin(π/4):
- Для x = π/3:
- Находим cos(π/3) и sin(π/3):
- cos(π/3) = 1/2
- sin(π/3) = √3/2
- Находим sin(4 * π/3):
- 4 * π/3 находится во второй четверти, и sin(4 * π/3) = -√3/2.
- Подставляем в производную: f'(π/3) = 4 * (1/2) - 4 * (-√3/2) = 2 + 2√3.
- Находим cos(π/3) и sin(π/3):
Производная функции в точке π/4 равна 2√2, а в точке π/3 равна 2 + 2√3.