Чтобы найти производную функции f(x) = x^2 (3x + x^3), мы будем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения равна:

(u * v)' = u' * v + u * v'

В нашем случае:

• u(x) = x^2
• v(x) = 3x + x^3

Теперь найдем производные u' и v'.

1. Находим u':
2. u(x) = x^2
3. Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:
4. u' = 2x
5. Находим v':
6. v(x) = 3x + x^3
7. Теперь найдем производную каждого члена:
8. Производная 3x равна 3, а производная x^3 равна 3x^2.
9. Таким образом, v' = 3 + 3x^2.

Теперь подставим u, u', v и v' в формулу для производной произведения:

f'(x) = u' * v + u * v'

Подставляем значения:

f'(x) = (2x) * (3x + x^3) + (x^2) * (3 + 3x^2)

Теперь упростим выражение:

• Первое слагаемое: 2x * (3x + x^3) = 6x^2 + 2x^4
• Второе слагаемое: x^2 * (3 + 3x^2) = 3x^2 + 3x^4

Теперь складываем оба слагаемых:

f'(x) = (6x^2 + 2x^4) + (3x^2 + 3x^4) = 6x^2 + 3x^2 + 2x^4 + 3x^4

Объединяем подобные слагаемые:

f'(x) = 9x^2 + 5x^4

Таким образом, производная функции f(x) = x^2 (3x + x^3) равна:

f'(x) = 5x^4 + 9x^2