Чтобы найти производную функции y = 3√(2x⁴) и определить значение производной в точке x = 1, следуем следующим шагам:

Сначала преобразуем функцию для удобства дифференцирования. Мы можем записать корень в виде степени:

y = (2x⁴)^(1/3)

Теперь применим правило дифференцирования для степенной функции. Если y = u^n, где u = 2x⁴ и n = 1/3, то производная y' будет вычисляться по формуле:

y' = n * u^(n-1) * u'

Где u' - производная u по x.

Теперь найдем производную u = 2x⁴:

• u' = 2 * 4x^(4-1) = 8x³

Теперь подставим все в формулу для y':

• y' = (1/3) * (2x⁴)^(1/3 - 1) * 8x³
• y' = (1/3) * (2x⁴)^(−2/3) * 8x³

Упрощаем выражение:

• y' = (8/3) * (2x⁴)^(−2/3) * x³
• y' = (8/3) * x³ / (2x⁴)^(2/3)
• y' = (8/3) * x³ / (2^(2/3) * x^(8/3))
• y' = (8/3) * (1 / (2^(2/3))) * (x^(3 - 8/3))
• y' = (8/3) * (1 / (2^(2/3))) * (x^(-5/3))

Теперь подставим x = 1 в производную:

• y'(1) = (8/3) * (1 / (2^(2/3))) * (1^(-5/3))
• y'(1) = (8/3) * (1 / (2^(2/3)))

Теперь вычислим это значение:

y'(1) = 8 / (3 * 2^(2/3))

Таким образом, значение производной функции y = 3√(2x⁴) в точке x = 1 равно 8 / (3 * 2^(2/3)).