Чтобы найти производные данных функций, мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило производной сложной функции, производной экспоненты, логарифма и произведения. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Функция: y = e^(-3x)

   Для нахождения производной этой функции используем правило производной экспоненты:

   • Производная e^(u) равна e^(u) * u', где u = -3x.
   • Сначала находим u': u' = -3.
   • Теперь подставляем в формулу: y' = e^(-3x) * (-3) = -3e^(-3x).

   Ответ: y' = -3e^(-3x)

2. Функция: y = ln(x^2 + 1)

   Для этой функции применяем правило производной логарифма:

   • Производная ln(u) равна u'/u, где u = x^2 + 1.
   • Сначала находим u': u' = 2x.
   • Теперь подставляем в формулу: y' = (2x) / (x^2 + 1).

   Ответ: y' = (2x) / (x^2 + 1)

3. Функция: y = arctg(x)

   Для нахождения производной функции арктангенса используем правило:

   • Производная arctg(x) равна 1/(1 + x^2).

   Ответ: y' = 1/(1 + x^2)

4. Функция: y = (3x^(1/3))e^(-3x-1)

   Эта функция является произведением двух функций, поэтому применяем правило произведения:

   • Если y = u * v, то y' = u'v + uv', где u = 3x^(1/3) и v = e^(-3x-1).
   • Сначала находим u' и v'.
   • Для u = 3x^(1/3): u' = 3 * (1/3)x^(-2/3) = x^(-2/3).
   • Для v = e^(-3x-1): v' = e^(-3x-1) * (-3) = -3e^(-3x-1).
   • Теперь подставляем в формулу: y' = (x^(-2/3)) * e^(-3x-1) + (3x^(1/3)) * (-3e^(-3x-1)).
   • Упрощаем: y' = x^(-2/3)e^(-3x-1) - 9x^(1/3)e^(-3x-1).
   • Можно вынести e^(-3x-1) за скобки: y' = e^(-3x-1)(x^(-2/3) - 9x^(1/3)).

   Ответ: y' = e^(-3x-1)(x^(-2/3) - 9x^(1/3))

Таким образом, мы нашли производные всех данных функций, применяя соответствующие правила дифференцирования.