Как найти решение неравенства (4x ^ 2 - 4x + 1)/((x + 4)(x - 3)) >= 0?

Математика 11 класс Неравенства решение неравенства неравенства с дробями математика 11 класс алгебра нахождение корней неравенства Новый

Чтобы решить неравенство (4x^2 - 4x + 1) / ((x + 4)(x - 3)) >= 0, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем нули числителя.

Сначала необходимо определить, когда числитель равен нулю. Мы решаем уравнение:

4x^2 - 4x + 1 = 0.

Для этого используем дискриминант:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень:

x = -b / (2a) = 4 / (2 * 4) = 1/2.

Шаг 2: Найдем нули знаменателя.

Теперь найдем, когда знаменатель равен нулю:

(x + 4)(x - 3) = 0.

Это дает два корня:

• x + 4 = 0 → x = -4;
• x - 3 = 0 → x = 3.

Шаг 3: Определим интервалы.

Теперь у нас есть три критических точки: x = -4, x = 1/2 и x = 3. Эти точки разделяют числовую ось на четыре интервала:

• (-∞, -4);
• (-4, 1/2);
• (1/2, 3);
• (3, +∞).

Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале.

Теперь мы проверим знак выражения (4x^2 - 4x + 1) / ((x + 4)(x - 3)) в каждом из интервалов. Для этого подберем тестовые точки:

• Для интервала (-∞, -4), возьмем x = -5:

(4(-5)^2 - 4(-5) + 1) / ((-5 + 4)(-5 - 3)) = (100 + 20 + 1) / (-1)(-8) > 0.

• Для интервала (-4, 1/2), возьмем x = 0:

(4(0)^2 - 4(0) + 1) / ((0 + 4)(0 - 3)) = 1 / (4 * -3) < 0.

• Для интервала (1/2, 3), возьмем x = 1:

(4(1)^2 - 4(1) + 1) / ((1 + 4)(1 - 3)) = (4 - 4 + 1) / (5 * -2) < 0.

• Для интервала (3, +∞), возьмем x = 4:

(4(4)^2 - 4(4) + 1) / ((4 + 4)(4 - 3)) = (64 - 16 + 1) / (8 * 1) > 0.

Шаг 5: Составим ответ.

Теперь мы можем записать, где выражение больше или равно нулю:

• Интервал (-∞, -4) – положительный;
• Интервал (-4, 1/2) – отрицательный;
• Интервал (1/2, 3) – отрицательный;
• Интервал (3, +∞) – положительный.

Также не забываем, что в точках x = -4 и x = 3 выражение не определено, а в точке x = 1/2 оно равно нулю.

Итог:

Решение неравенства: x ∈ (-∞, -4) ∪ [1/2, 3) ∪ (3, +∞).