Как найти решение уравнения 10sin^x + 3sinx = 1?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения 10sin^x 3sinx математические уравнения Тригонометрия синус алгебра школьная математика Новый

Чтобы решить уравнение 10sin^2(x) + 3sin(x) = 1, мы можем начать с того, что это уравнение является квадратным относительно sin(x). Давайте обозначим sin(x) как y. Тогда уравнение преобразуется в:

10y^2 + 3y - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 10
• b = 3
• c = -1

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

y = (-3 ± √(3² - 4 * 10 * (-1))) / (2 * 10)

Сначала найдем дискриминант:

• 3² = 9
• 4 * 10 * (-1) = -40
• Дискриминант = 9 + 40 = 49

Теперь подставим дискриминант в формулу:

y = (-3 ± √49) / 20

Поскольку √49 = 7, получаем:

y = (-3 ± 7) / 20

Теперь найдем два корня:

1. Первый корень: y1 = (-3 + 7) / 20 = 4 / 20 = 1/5
2. Второй корень: y2 = (-3 - 7) / 20 = -10 / 20 = -1/2

Теперь у нас есть два значения для y (sin(x)): y1 = 1/5 и y2 = -1/2.

Теперь мы можем найти x:

1. Для y1 = 1/5:

sin(x) = 1/5. Чтобы найти x, используем арксинус:

x = arcsin(1/5).

Это значение будет в диапазоне [0, π/2] и [π, 3π/2] для синуса. Значит:

• x1 = arcsin(1/5)
• x2 = π - arcsin(1/5)

2. Для y2 = -1/2:

sin(x) = -1/2. Это значение также имеет известные углы:

• x3 = 7π/6
• x4 = 11π/6

Таким образом, все решения уравнения 10sin^2(x) + 3sin(x) = 1 будут:

• x1 = arcsin(1/5
• x2 = π - arcsin(1/5)
• x3 = 7π/6
• x4 = 11π/6

Не забудьте, что синус имеет период 2π, поэтому можно добавлять 2πk, где k - любое целое число, чтобы получить все возможные решения.