Как найти решение уравнения 25 в степени х минус 24 умножить на 5 в степени х минус 25 равно 0?

Математика 11 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения уравнение 25 в степени х 5 в степени х математические задачи алгебра 11 класс нахождение корней уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 25^x - 24 * 5^x - 25 = 0, давайте начнем с преобразования выражений.

Сначала заметим, что 25 можно выразить как (5^2). Это позволяет нам переписать уравнение:

• 25^x = (5^2)^x = 5^(2x).

Теперь подставим это в уравнение:

5^(2x) - 24 * 5^x - 25 = 0.

Теперь сделаем замену переменной. Пусть:

• y = 5^x.

Тогда 5^(2x) = (5^x)^2 = y^2. Подставим это в уравнение:

y^2 - 24y - 25 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -24, c = -25.

Теперь подставим значения a, b и c:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 1 * (-25) = 576 + 100 = 676.
• Корни уравнения:
• y1 = (24 + √676) / 2 = (24 + 26) / 2 = 50 / 2 = 25.
• y2 = (24 - √676) / 2 = (24 - 26) / 2 = -2 / 2 = -1.

Теперь у нас есть два значения для y: y1 = 25 и y2 = -1. Но так как y = 5^x, и 5^x всегда положительно, мы можем отбросить y2 = -1.

Теперь решим уравнение для y1:

5^x = 25.

Мы знаем, что 25 = 5^2, следовательно:

5^x = 5^2.

Так как основания равны, мы можем приравнять степени:

x = 2.

Таким образом, решение уравнения 25^x - 24 * 5^x - 25 = 0:

x = 2.