Как решить уравнение 49^x - 8*7^x + 7 = 0?

Математика 11 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение 49^x 8*7^x 7 решение математика 11 класс алгебра экспоненциальные уравнения методы решения примеры решений Новый

Чтобы решить уравнение 49^x - 8*7^x + 7 = 0, давайте рассмотрим его более внимательно и попробуем упростить. Обратите внимание, что 49 можно представить как 7^2. Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

(7^2)^x - 8*7^x + 7 = 0

Это уравнение можно упростить, используя свойства степеней. Напомним, что (a^b)^c = a^(b*c). Следовательно, (7^2)^x = 7^(2x). Подставим это в уравнение:

7^(2x) - 8*7^x + 7 = 0

Теперь введем замену: пусть y = 7^x. Тогда уравнение принимает вид:

y^2 - 8y + 7 = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью дискриминанта:

1. Найдем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4*1*7 = 64 - 28 = 36.
2. Корни квадратного уравнения находятся по формуле: y = (-b ± √D) / (2a).
3. Подставляем значения: y = (8 ± √36) / 2 = (8 ± 6) / 2.
4. Получаем два корня: y1 = (8 + 6) / 2 = 14 / 2 = 7 и y2 = (8 - 6) / 2 = 2 / 2 = 1.

Теперь вернемся к исходной переменной x. Напомним, что y = 7^x. Таким образом, у нас есть два уравнения:

• 7^x = 7. Это уравнение легко решается: x = 1, потому что 7^1 = 7.
• 7^x = 1. Это уравнение также легко решается: x = 0, потому что 7^0 = 1.

Таким образом, уравнение 49^x - 8*7^x + 7 = 0 имеет два решения: x = 1 и x = 0.