Как решить уравнение: 5*4^(x^2 +4x) + 20*10^(x^2 +4x-1) - 7*25^(x^2 +4x)=0?

Математика 11 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения математика алгебра exponentiation уравнения с переменной математические задачи Новый

Для решения уравнения 5*4^(x^2 +4x) + 20*10^(x^2 +4x-1) - 7*25^(x^2 +4x)=0, начнем с упрощения каждого из слагаемых. Мы заметим, что все степени имеют общий показатель, который можно обозначить.

Шаг 1: Замена переменной

Обозначим:

y = x^2 + 4x

Тогда уравнение можно переписать как:

5*4^y + 20*10^(y-1) - 7*25^y = 0

Шаг 2: Преобразование оснований

Теперь выразим каждое слагаемое через степени 2 и 5:

• 4^y = (2^2)^y = 2^(2y)
• 10^(y-1) = (2*5)^(y-1) = 2^(y-1) * 5^(y-1) = 2^y * 5^(y-1) / 5
• 25^y = (5^2)^y = 5^(2y)

Подставим эти преобразования в уравнение:

5*2^(2y) + 20*(2^y * 5^(y-1) / 5) - 7*5^(2y) = 0

Упрощаем:

5*2^(2y) + 4*2^y * 5^(y-1) - 7*5^(2y) = 0

Шаг 3: Упрощение уравнения

Теперь мы можем привести все к общему виду:

5*2^(2y) + 4*2^y * 5^(y-1) - 7*5^(2y) = 0

Для удобства, давайте умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:

25*2^(2y) + 20*2^y - 35*5^(2y) = 0

Шаг 4: Замена переменной для облегчения решения

Теперь давайте обозначим:

a = 2^y и b = 5^y

Тогда уравнение станет:

25*a^2 + 20*a - 35*b^2 = 0

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь это квадратное уравнение относительно a:

25*a^2 + 20*a - 35*b^2 = 0

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

a = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / 2A

где A = 25, B = 20, C = -35*b^2.

Шаг 6: Подстановка и нахождение корней

Подставляем значения и находим дискриминант:

D = 20^2 - 4*25*(-35*b^2) = 400 + 3500*b^2 = 3900*b^2

Теперь находим a:

a = (-20 ± √(3900*b^2)) / 50

Шаг 7: Возвращение к переменной y

Теперь, когда мы нашли a, мы можем найти y, а затем x:

y = log2(a) и x = (-4 ± √(16 + 4y)) / 2

Шаг 8: Подведение итогов

Таким образом, мы получили значения для x через y, а затем решили уравнение. Не забудьте проверить найденные корни на исходном уравнении, чтобы убедиться, что они верны.