Как решить уравнение 8*16^x - 6*4^x + 1 = 0?

Математика 11 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения уравнение 8*16^x 6*4^x математика алгебра Квадратные уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения 8*16^x - 6*4^x + 1 = 0, начнем с преобразования выражений, содержащих степени.

Шаг 1: Преобразование оснований

• Заметим, что 16 можно выразить через 4: 16 = 4^2.
• Таким образом, 16^x = (4^2)^x = 4^(2x).
• Теперь подставим это преобразование в уравнение:

8*16^x = 8*4^(2x).

Теперь уравнение принимает вид:

8*4^(2x) - 6*4^x + 1 = 0.

Шаг 2: Замена переменной

• Введем новую переменную для упрощения: пусть y = 4^x.
• Тогда 4^(2x) = (4^x)^2 = y^2.

Подставив y в уравнение, получим:

8y^2 - 6y + 1 = 0.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

• Теперь решим квадратное уравнение 8y^2 - 6y + 1 = 0 с помощью дискриминанта.
• Дискриминант D рассчитывается по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 8, b = -6, c = 1.
• В нашем случае: D = (-6)^2 - 4*8*1 = 36 - 32 = 4.

Шаг 4: Нахождение корней

• Корни квадратного уравнения находятся по формуле: y = (-b ± √D) / (2a).
• Подставим значения: y = (6 ± √4) / (2*8) = (6 ± 2) / 16.
• Получаем два корня:
1. y1 = (6 + 2) / 16 = 8 / 16 = 0.5.
2. y2 = (6 - 2) / 16 = 4 / 16 = 0.25.

Шаг 5: Обратная замена

• Теперь вернемся к переменной y: y = 4^x.
• Решаем для каждого корня:
1. Для y1 = 0.5: 4^x = 0.5. Это можно записать как 4^x = 4^(-1/2), следовательно, x = -1/2.
2. Для y2 = 0.25: 4^x = 0.25. Это можно записать как 4^x = 4^(-1), следовательно, x = -1.

Шаг 6: Запись окончательных решений

Таким образом, уравнение 8*16^x - 6*4^x + 1 = 0 имеет два решения:

• x = -1/2,
• x = -1.