Как решить уравнение: 9^x + 2 * 12^x - 3 * 16^x = 0?

Математика 11 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение решение уравнения математика 11 класс 9^x 12^x 16^x алгебра математические уравнения экспоненциальные уравнения Новый

Для решения уравнения 9^x + 2 * 12^x - 3 * 16^x = 0 мы можем воспользоваться заменой переменной, чтобы упростить выражение. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Запишем основания в виде степеней:
   • 9 = 3^2
   • 12 = 3 * 4 = 3 * 2^2
   • 16 = 4^2 = 2^4

   Теперь мы можем переписать уравнение в следующем виде:

   (3^2)^x + 2 * (3 * 2^2)^x - 3 * (2^4)^x = 0

   Это можно упростить до:

   3^(2x) + 2 * 3^x * 2^(2x) - 3 * 2^(4x) = 0

2. Введем замену:

   Обозначим y = 3^x и z = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

   y^2 + 2 * y * z^2 - 3 * z^4 = 0

3. Решим полученное квадратное уравнение:

   Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно y:

   y^2 + 2 * z^2 * y - 3 * z^4 = 0

   Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

   y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2z^2, c = -3z^4.

   Подставляем значения:

   • b^2 = (2z^2)^2 = 4z^4
   • 4ac = 4 * 1 * (-3z^4) = -12z^4
   • Дискриминант: D = 4z^4 + 12z^4 = 16z^4

   Теперь подставим дискриминант в формулу:

   y = (-2z^2 ± √(16z^4)) / 2 = (-2z^2 ± 4z^2) / 2.

   Это дает два решения:

   • y1 = (2z^2) / 2 = z^2
   • y2 = (-6z^2) / 2 = -3z^2 (это решение не подходит, так как y не может быть отрицательным).
4. Подставим обратно:

   Теперь мы имеем y = z^2, что означает:

   3^x = (2^x)^2 = 2^(2x)

   Теперь можем переписать это уравнение:

   3^x = 2^(2x)

5. Применим логарифмы:

   Возьмем логарифм от обеих сторон:

   log(3^x) = log(2^(2x))

   x * log(3) = 2x * log(2)

   Теперь выразим x:

   x * log(3) - 2x * log(2) = 0

   x * (log(3) - 2 * log(2)) = 0

   Это дает два решения:

   • x = 0
   • log(3) = 2 * log(2) (это уравнение можно проверить, но оно не дает других значений для x).

Таким образом, окончательное решение уравнения 9^x + 2 * 12^x - 3 * 16^x = 0:

x = 0